Лежат ли точки на окружности? (комплексные числа)

[sorrat]

ewert, когда только вычислил интеграл свой, понял, что вы сделали это раньше.

ewert в сообщении #427058 писал(а):

$\pi(e^{-3}+e^{-2})$

Отделено от темы "Несобственный интеграл".

Не знаю верно ли поступаю, не следуя названию своей темы, но есть еще одна задача:
Доказать, что точки, для которых число $\frac{z}{z-1}{$ является чисто мнимым, лежат на окружности.
Мои действия:
$z=a+bi$
$\frac{a+bi}{a+bi-1}=\frac{(a+bi)(a-bi-1)}{(a+bi-1)(a-bi-1)}=\frac{a^2+b^2-a}{(a-1)^2+b^2}-\frac{b}{(a-1)^2+b^2}i$
По условию число - чисто мнимое $\Rightarrow a^2+b^2-a=0$. Но уравнение окружности $z\bar z=r^2, z\in \mathbb{C}$ или $x^2+y^2=r^2, x,y\in \mathbb{R}$
И тут я остался в недоумении

[ИСН]

Это уравнение (которое с x и y) описывает все окружности?

[sorrat]

$x^2+y^2=r^2$ - уравнение окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $r$.
ИСН, если ваше сообщение было намеком, то я его не понял.
Или $a^2+b^2-a=0$ - уравнение окружности, в котором $\sqrt a$ является радиусом? Но как-то нехорошо получается, что радиус не константа.

[svv]

Они Вам:

sorrat писал(а):

Доказать, что точки ... лежат на окружности.

Вы нам:

sorrat писал(а):

уравнение окружности с центром в $(0,0)$

Теперь поняли?
А радиус там вполне константа.

[ИСН]

Я могу ещё намекнуть.
У всех ли окружностей центр лежит в (0,0)?

[sorrat]

ИСН, конечно, нет. Но причем тут это. В полученном выражении $a^2+b^2-a=0$, если считать за радиус $\sqrt a$, центр в (0,0). Или нет?
svv, меня смущал (и смущает) радиус.
Т.е. мое доказательство верно?

[ИСН]

При том. Здесь привыкли говорить эзоповым языком. Вы умеете рисовать окружность радиусом $\sqrt a$? Я - нет. Радиусом в 1 - умею, в 2 - тоже; могу даже $\sqrt2$.
Скажите, а $x+y=1$ - это уравнение чего? Может, тоже окружности?

[svv]

sorrat, уверены ли Вы, что узнаете Истину окружность с другим центром, если столкнётесь с ней лицом к лицу?

[sorrat]

ИСН, так сколько мне раз повторять, что я как раз таки был не уверен, что полученное мной конечное выражение является уравнением окружности. Поэтому и обратился за советом, вопросом: верно ли, коли нет, так попросить совета как быть.
И да, уравнения элементарных функций мне знакомы, спасибо за ваше беспокойство.

[ИСН]

Пожалуйста. Минуточку, а что "да"? Окружность или нет вот это, что я привёл? А то смотрите как бывает:

$$x+y=1$$

$$x^2-x^2+x+y=1$$

$$x^2+y^2-y^2-x^2+x+y=1$$

$$x^2+y^2-y^2-x^2=1-x-y$$

$$x^2+y^2=1-x-y+x^2+y^2$$

Не окружность ли это с радиусом $\sqrt{1-x-y+x^2+y^2}$? Как Вам кажется? Да? Нет? Почему?

[sorrat]

Радиус должен быть константой. У вас - не константа, т.к. при разных х, у, ваш радиус будет разным.

[ИСН]

Ага! Применительно к Вашему случаю это значит что?

[sorrat]

Аналогия очевидна: также и в моем случае, радиус - не есть константа, что было сказано мной и раньше.

[ИСН]

Ну да, да, очевидна, а вывод-то какой?

[sorrat]

решение (доказательство) неверно.