Распред. электронов в p-n-перех. Вот, что напоминает задача.

[Bars]

В цилиндре длиной $ l $ находится бесконечно много тел бесконечно маленькой массы. Их общий объём равен $ V = \frac l 2 $. Распределение линейной плотности тел вдоль цилиндра задаётся функцией $ f(x,0) = \frac{dV}{dx}, x \in [ 0, l ] $. Скорость каждого тела зависит от расположения остальных и задаётся функцией $ v(x,t) $, которая однозначно строится по $ f. Необходимо узнать, к чему будет стремиться функция распределения плотности с течением времени.

$ f(x,0) = 1 - \frac x l $, $ v(x_0,t) = \int_0^l sgn (x - x_0) \frac{ f(x) }{ (x-x_0)^2} dx - \int_0^l sgn (x - x_0) \frac{ 1 - f(x) }{ (x-x_0)^2} dx $

Моя идея: $ f(x_0,t+\Delta t)=\int_0^l f(x) \cdot 1( v(x,t) \cdot \Delta t = x_0)dx $. Вот только интеграл по Риману не берётся, и непонятно, как перейти к пределу $ \Delta t \to 0 $.

Какие у вас мысли по этой задаче? В рамках какой области математики, с вашей точки зрения, должно существовать решение подобных задач?

[svv]

Мысли такие. Надо объединить оба интеграла в один (благо, пределы совпадают):
$v(x_0, t) = \int\limits_0^l \operatorname{sign} (x - x_0) \frac{2f(x, t)-1}{(x-x_0)^2} dx$
Плотность стремится к такой плотности, которая не меняется во времени, то есть стационарна. Это значит, что для нее $v(x_0, t)=0$. Но решать уравнение $\int\limits_0^l \operatorname{sign} (x - x_0) \frac{2f(x, t)-1}{(x-x_0)^2} dx=0$ не придётся, так как оно имеет очевидное решение $f=1/2$. Если же интересует процесс релаксации в деталях, воспользуйтесь одномерным уравнением непрерывности заряда $\frac {\partial \rho}{\partial t}=-\frac {\partial(\rho v)}{\partial x}$.

Два замечания, одно методическое, другое физическое.
1) Вы напрасно переводили всё это на механический язык (думали, наверное, так будет проще ). Ничем не хуже были бы плотность заряда, общий заряд (причем равный нулю), электрическое поле и т.д. У Вас заряд рассматривается как непрерывно распределенный, поэтому и о множестве маленьких тел не стоит говорить.
2) Мне кажется, что в Вашей модели неоправданно сильная сингулярность $r^{-2}$. Это соответствует бесконечно тонкому стержню. Но реальный переход имеет конечные поперечные размеры. Сила взаимодействия двух точечных зарядов -- да, пропорциональна $r^{-2}$. Но сила взаимодействия двух параллельных стержней ($r \ll l$) уже пропорциональна $r^{-1}$. А сила взаимодействия двух параллельных площадок при малых расстояниях между ними в первом порядке уже не зависит от расстояния.