Мультимножество положительных рациональных чисел

[stivensigal]

Последовательность

$\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{5}{1},$
строится по следующему закону. Мы перечисляем все дроби вида $\frac{m}{n}$ таких что $m+n=k$ в порядке убывания m, затем увеличиваем k на 1 и повторяем процедуру, и так далее.

A)Докажите, что любое положительное рациональное число встретится в этой последовательности бесконечно много раз.

B) Найдите первые 5 позиций числа 0.5

C) Найдите формулу n-ой позиции числа 0.5

D) Найдите формулу первой позиции числа $\frac{p}{q}$ (p<q, p и q взаимопростые).

[Sonic86]

(Оффтоп)

по-моему, задача не олимпиадная...

[stivensigal]

Sonic86 в сообщении #427159 писал(а):

(Оффтоп)

по-моему, задача не олимпиадная...

Брат мне сказал что у них в школе на олимпиаде было.

[Naf2000]

(Оффтоп)

A) собственно по определению число $\frac{p}{q}$ встретится, так как $p+q\ge2$, ну и очевидно там же встретится $\frac{np}{nq}, n\ge2$
B) $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6}, \frac{4}{8}, \frac{5}{10}$
C) всех чисел сумма числителя и знаменателя которых не более $m$ равна $\frac{m(m-1)}{2}$ поэтому $\frac{n}{2n}$ расположена на $\frac{(3n-1)(3n-2)}{2}+n$ месте
D)аналогично $\frac{(p+q-1)(p+q-2)}{2}+p$

[AD]

Перенёс в учебный раздел.
Согласен, ни разу не олимпиадная задача; а даже если и была, это ничего не доказывает.

[Xenia1996]

Naf2000 в сообщении #427317 писал(а):

(Оффтоп)

B) $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6}, \frac{4}{8}, \frac{5}{10}$

Вот что значит невнимательно читать.
В условии спрашивается о позициях, а не о том, какие числа там стоят.

Ответы:

B) 3, 14, 34, 63, 101

C) $\frac{3n(3n-1)}{2}-n+1=4.5n^2-2.5n+1$

D) $\frac{(p+q)(p+q-1)}{2}-p+1=0.5p^2+0.5q^2+pq-1.5p-0.5q+1$

Ах, да, теперь увидела, что на C и D Вы верно ответили, только на B - нет. Только формулы у нас, почему-то, не совсем похожи
Ага! Вы с нуля считали, а я - с единички! Нет, всё равно что-то не клеится. Один из нас ошибся...

Нет, всё-таки Вы ошиблись. У Вас пятая позиция половинки (по Вашей формуле в C) должна быть 96...