сухое трение

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #426286 писал(а):

Подставляя такое обобщённое выражение в соответствующие уравнения, вы получите не $mga/(a+b-fh),$

Это неверно. Получится именно это выражение. Только давайте не "обобщенные выражения" подставлять, а формально писать стандартные уравнения.

Точку контакта диска и балки обозначим за $A$, точку приложения силы тяжести -за $C$. Введем правую ортонормированную систему координат $Oxyz$ (точка $O$ показана на рисунке) так, что бы ось $Y$ была направлена вертикально вниз, а ось $Z$ была перпендикулярна плоскости рисунка и смотрела на нас.
Тогда сила реакции со стороны диска на балку имеет вид $\vec R_A=-N\vec e_y-f|N| \vec e_x$. Я рассматриваю только то направление вращения диска, которое показано на рисунке, в другую сторону вращать неинтересно, там не возникают парадоксы.
Уравнение моментов для балки относительно точки $O$ имеет вид $[\vec r_c,m\vec g]+[\vec r_A,\vec R_A]=0$
Это уравнение эквивалентно скалярному уравнению

$$amg-N(a+b)+f|N|h=0\qquad (*)$$

. При $N\le 0$ решений нет. При $N>0$ получаем выражение

$$N=\frac{amg}{a+b-fh}.$$

Если $a+b-fh>0$ противоречий не возникает; если $a+b-fh<0$ то уравнение (*) не имеет решений.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #427070 писал(а):

Только давайте не "обобщенные выражения" подставлять, а формально писать стандартные уравнения.

Если вы считаете, что "стандартные уравнения" - это $f|N|,$ я вам ничем помочь не могу. Это означает, что во-первых, вы допускаете отрицательные значения $N$ (алгебраической), то есть не давление, а притяжение между контактирующими поверхностями, ничем не связанными; и во-вторых, вы полагаете, что при таком притяжении сила трения будет действовать точно так же, как и при давлении. Это всё распространение закона Кулона за пределы его применимости.

Реальная (и элементарная) физика такова: если поверхности не сдавливаются внешними силами, а наоборот, растягиваются, то силы нормальной реакции между ними нет: они просто расходятся (хотя бы и на бесконечно малое расстояние), контакт прерывается. И в тот же самый момент исчезает и сила трения. Таким образом, ни $N$ не может принимать отрицательные значения, ни $fN$ нельзя вычислять при отрицательных $N.$

У стандартных уравнений есть ещё и стандартная область применимости, знаете ли.

[type2b]

В этой теме правильный ответ дал Анатолий Григорьев.

Чтобы понять, что происходит при большом коэффициенте трения, надо рассмотреть точку, где $N$ меняет знак. Пусть вначале у нас $f=0$. При этом сила реакции направлена вверх, компенсирует момент силы тяжести. Начинаем увеличивать $f$, возникает сила трения. При этом сила реакции растет, чтобы компенсировать момент силы трения плюс силы тяжести. В момент, когда $f$ становится равным $(a+b)/h$, сила реакции бесконечна. Это означает, что происходит заклинивание. Начиная с этой точки бессмысленно обсуждать, что будет при дальнейшем увеличении $f$. При заклинивании либо что-нибудь сломается, либо под действием больших сил в точке контакта изменятся условия контакта, т.е. коэффициент трения.
Сила реакции в этой системе не будет направлена вниз ни при каких условиях.
Вот если бы она при изменении $f$ проходила не через бесконечность, а через ноль, то это бы означало отрыв, но здесь не тот случай.

[Munin]

Кстати, да. Замечательный подход с ростом $f.$ Всё становится прозрачно, даже геометрически прозрачно.

$f$ - это котангенс угла наклона суммарной силы реакции. Суммарная сила реакции действует по линии, которая проходит либо левее и выше шарнира $O,$ либо ниже и правее. Пока $f$ меньше критического значения, линия левее и выше $O,$ момент суммарной силы реакции относительно точки $O$ направлен в противоположную сторону по отношению к моменту силы тяжести, и возможно такое значение силы реакции, что моменты друг друга компенсируют. Как только $f$ переходит критическое значение, линия силы реакции становится ниже и правее $O,$ равновесие для балки невозможно при учёте только данных сил, она проворачивается на шарнире $O$ против часовой стрелки и силой тяжести, и силой реакции. Если бы поверхность касания позволяла это, балка бы провалилась, а так она заклинится.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #427086 писал(а):

Если вы считаете, что "стандартные уравнения" - это $f|N|,$

Это действительно стандартная формула см учебник: Суслов Теор механика.

Munin в сообщении #427086 писал(а):

Это означает, что во-первых, вы допускаете отрицательные значения $N$ (алгебраической), то есть не давление, а притяжение между контактирующими поверхностями, ничем не связанными; и во-вторых, вы полагаете, что при таком притяжении сила трения будет действовать точно так же, как и при давлении. Это всё распространение закона Кулона за пределы его применимости.

Реальная (и элементарная) физика такова: если поверхности не сдавливаются внешними силами, а наоборот, растягиваются, то силы нормальной реакции между ними нет: они просто расходятся (хотя бы и на бесконечно малое расстояние), контакт прерывается. И в тот же самый момент исчезает и сила трения. Таким образом, ни $N$ не может принимать отрицательные значения

Зачем так колотить в открытую дверь?:

Oleg Zubelevich в сообщении #427070 писал(а):

При $N\le 0$ решений нет

Однако, давайте не будем отвлекаться. Вы утверждали, что

Munin в сообщении #426286 писал(а):

Подставляя такое обобщённое выражение в соответствующие уравнения, вы получите не $mga/(a+b-fh),$ а другое решение

В post427070.html#p427070 я привел доказательство этой формулы и описал условия при которых она не противоречива.
Пожалуйста предъявите Ваше "другое решение", с обоснованием, конечно.

[Munin]

post427150.html#p427150

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #427231 писал(а):

http://dxdy.ru/post427150.html#p427150

давайте не валить все в одну кучу,
я Вас спрашиваю про Ваше высказывание, которое касалось формулы$N=amg/(a+b-fh)$.
Цитирую еще раз:

Munin в сообщении #426286 писал(а):

Подставляя такое обобщённое выражение в соответствующие уравнения, вы получите не $mga/(a+b-fh),$ а другое решение - или обнаружите, что решения не существует

Вот про то когда решения не существует, все ясно было с самого начала, а про другой случай объясните. Вот Вы подставили Ваше "обобщенное выражение" (куда подставили?) и что Вы получили? Формулу напишите.

[Батороев]

Шимпанзе в сообщении #427030 писал(а):

Батороев в сообщении #426995 писал(а):

диск притягивает балку?

Не "диск притягивает балку", а момент силы трения между балкой и диском относительно опоры "О" создает дополнительное давление ("притяжение") на диск. Саму же силу трения определяют так, как писал ранее .

Прискорбно, что забывая поставить кавычки, цитируя кого-либо (в данном случае "притягивает балку"), тем самым даешь повод кому-то поучать себя.

Вы упорно переводите вопрос к диску. Действительно, если бы вопрос в задаче был поставлен, типа "какое сопротивление вращению испытывает диск от балки", то мы бы силу $N$ направили бы вниз и рассматривали ее, как внешнюю силу для диска. Но в данной задаче вопрос про балку, поэтому именно для нее необходимо определить внешние силы. Поэтому, направление силы $N$ вверх верное.

Что касается решения задачи, то в принципе согласен Анатолием Григорьевым, но с одним уточнением. Если в формуле выделить сомножители следующим образом: $N=mg\cdot \dfrac{a}{a+b-fh}$, то получим, что все зависит больше от пропорций (от отношения размеров), чем от коэффициента трения, который, как уже здесь справедливо отмечали, может изменяться только в пределах от $0$ до $1$. Анатолий Григорьев описал случай, когда т. $O$ сдвигается ближе к диску по горизонтали. Аналогично можно и увеличивать толщину бруса, т.е. смещать т. $O$ по вертикали.

[Шимпанзе]

Батороев в сообщении #427316 писал(а):

Вы упорно переводите вопрос к диску

Конечно. Главный вопрос , на мой взгляд, в диске или моторе , который вращает диск. Можно ли подобрать такой радиус диска, чтоб исключить стопор? Безусловно . Возьмем, к примеру, длину бруска 100 м, а высоту 1000м. По предложенной формуле получится что- то несусветное. Однако ж подобрать диаметр диска , иначе говоря дать нужный момент на диск можно- и никакого стопора не будет. Это говорит о том, что сила трения в данном примере так не рассчитывается.

[Батороев]

Шимпанзе в сообщении #427343 писал(а):

Конечно. Главный вопрос , на мой взгляд, в диске или моторе , который вращает диск. Можно ли подобрать такой радиус диска, чтоб исключить стопор? Безусловно . Возьмем, к примеру, длину бруска 100 м, а высоту 1000м. По предложенной формуле получится что- то несусветное. Однако ж подобрать диаметр диска , иначе говоря дать нужный момент на диск можно- и никакого стопора не будет. Это говорит о том, что сила трения в данном примере так не рассчитывается.

Представьте, что у Вас не диск и брус, а зубчатое колесо и зубчатая рейка (аналог $f=1$).
В этом случае в предлагаемой Вами схеме, какой бы Вы диаметр зубчатого колеса не применили, какой бы крутящий момент не приложили к колесу, стопор не устраните (естественно, если не войдете в область упругих или пластических деформаций, но это будет уже другая история).
Если же $f$ будет малым, таким, что $fh<a+b$, то тогда будет иметь место проскальзвание.
Другими словами, в заданной схеме (при неизменных размерах $a, b, h$) все зависит от коэффициента трения, который в свою очередь зависит только от комбинации используемых материалов (сталь-по дереву, алюминий-по фторопласту, резина-по стеклу и т.д.).

Но еще раз повторюсь. Если нам по условию задачи предстоит определить поведение бруса, то необходимо именно к нему прикладывать внешние нагрузки. Я имею в виду направление $N$ и $fN$. По модулю они, что для диска, что для бруса одинаковы (3-й закон Ньютона).

[Шимпанзе]

Батороев в сообщении #427358 писал(а):

Представьте, что у Вас не диск и брус, а зубчатое колесо и зубчатая рейка

Это уже другая задача. Способ войти в клин называется - заклинить механизм. А трение скольжение -есть трение скольжения. И учитывается для движущегося тела то есть для диска. А диск у нас круглый, а потому многое чего надо учитывать.

[venco]

Батороев в сообщении #427358 писал(а):

Представьте, что у Вас не диск и брус, а зубчатое колесо и зубчатая рейка (аналог $f=1$).

Поправлю: у зубчатого колеса $f>1$ и может быть сколь угодно большим.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #427307 писал(а):

Вот про то когда решения не существует, все ясно было с самого начала, а про другой случай объясните.

К данной задаче эта часть фразы не относится.

[Батороев]

venco в сообщении #427399 писал(а):

Батороев в сообщении #427358 писал(а):

Представьте, что у Вас не диск и брус, а зубчатое колесо и зубчатая рейка (аналог $f=1$).

Поправлю: у зубчатого колеса $f>1$ и может быть сколь угодно большим.

Я взял зубчатую пару лишь по причине того, что не мог придумать лучшего примера (аналога, который хотя бы в некоторой степени приближался) для максимального коэффициента трения, который не может быть больше 1. Поэтому Вашу поправку тоже необходимо править.

-- 26 мар 2011 19:45 --

Шимпанзе в сообщении #427374 писал(а):

Батороев в сообщении #427358 писал(а):

Представьте, что у Вас не диск и брус, а зубчатое колесо и зубчатая рейка

Это уже другая задача. Способ войти в клин называется - заклинить механизм. А трение скольжение -есть трение скольжения. И учитывается для движущегося тела то есть для диска. А диск у нас круглый, а потому многое чего надо учитывать.

Зубчатую пару я использовал лишь для того, чтобы показать Вам, что "стопор" (Ваше слово) не устранить предложенными Вами методами (изменением диаметра диска или увеличением крутящего момента).

[Munin]

Батороев
Возьмите зубчатую поверхность в виде треугольных зубцов с углом наклона $\tg f.$ У пары таких поверхностей $f$ может быть сколь угодно большим (если зубцы прочные).