Диофантова система

[RIP]

Докажите, что система

$$\left\{ \begin{matrix} x+y=a^2;\\ x^2+y^2=b^4; \end{matrix} \right. $$

имеет бесконечно много решений в натуральных $x,y,a,b$, таких что $(x,y)=1$.
Попрошу пока воздержаться от ссылок. Пусть те, кому интересно(если таковые найдутся), попробуют порешать самостоятельно.

[maxal]

Кстати, П.Ферма рассматривал похожую, но более сложную систему:
...removed...
Это не ссылка, а информация к размышлению.

[RIP]

Ферма как раз мою и рассматривал(в Вашей даже второе уравнение не имеет решений )

Добавлено спустя 8 минут 47 секунд:

Кстати, решение в целых числах найти попроще.

[maxal]

И точно! Память подвела

Константин Кноп когда-то рассказывал подробно как решать эту систему. Позже подкину ссылочку на его решение.

[Lion]

Может быть, все-таки обсудим эту задачу? Все уже, наверное, подумали над ней, да и задача интересная...

[juna]

Минимальное положительное решение $x=1061652293520$, $y=4565486027761$.
Можно утверждать, что $7|xy$, $4|xy$.
Простых решений я не знаю, от ссылок пока воздержусь.

[Lion]

Если кому интересно, следующее по величине решение:

$$\begin{align*}x &= 214038981475081188634947041892245670988588201, \\ y &= 109945628264924023237017010068507003594693720\end{align*}$$

(если я нигде не наврался ). Кстати, не мог бы Артамонов Ю.Н. пояснить, откуда берется ограничение $28\mid xy$?

[juna]

$(x+y)^2-2xy=b^4\Rightarrow 2xy=a^4-b^4=(a^2+b^2)(a-b)(a+b)$ Отсюда разной четности $a,b$ быть не могут, т.е. $4|xy$.
Далее рассматривая $x^2+y^2=z^4$, $(x,y)=1\Rightarrow x=2mn, y=m^2-n^2, z^2=m^2+n^2$. Пусть $7 \not |x$. Квадрат любого числа сравним с 1, 2, 4 по модулю семь, отсюда $m,n$ имеют одинаковые остатки при делении на 7, т.е. $7|y$.

[Lion]

Спасибо, я все понял.
Насчет решения: весь вопрос в конечном счете сводится к уравнению вида $a^2=p^4+4p^3q-6p^2q^2-4pq^3+q^4$ (1), где $p,q,a\in \mathbb{N}$ (тогда числа $x,y$ определяются из равенств $x=4pq(p^2-q^2)$, $y=(p^2-q^2)^2-4p^2q^2$). Если рассматривать уравнение (1) в целых числах, то легко видеть, что при $3p+2q=0$ имеем $a^2=(p+q)^4$, и значит, $a=(p+q)^2$, т.е. можно найти бесконечное множество решений в целых числах. А вот как понять, когда (1) разрешимо в натуральных числах? Некоторые$p,q$, удовлетворяющие (1), можно просто подобрать с помощью компьютера, но найти семейсто решений не получается...

[juna]

Решать по-честному - нужно приводить к эллиптической кривой и находить на ней рациональные решения.
Но может быть Кноп этот честный путь подсократит?

[Lion]

Очень на это надеюсь!

[maxal]

Решение К.Кнопа

[juna]

Нельзя назвать это решение полным или улучшаемым до полного.
В книге Прасолов В.В. Соловьев Ю.П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения 1997. стр. 168-169 решение основывается на поиске рациональных точек на эллиптической кривой $y^2=x^3+8x$.
Существует (в природе, к сожалению у меня нет) также книжка В. Серпинского Пифагоровы треугольники 1959., в которой также якобы разбирается решение.
По ссылке Кнопа задача Дьюдени здесь также обсуждалась.

[RIP]

Lion писал(а):

Спасибо, я все понял.
Насчет решения: весь вопрос в конечном счете сводится к уравнению вида $a^2=p^4+4p^3q-6p^2q^2-4pq^3+q^4$ (1), где $p,q,a\in \mathbb{N}$ (тогда числа $x,y$ определяются из равенств $x=4pq(p^2-q^2)$, $y=(p^2-q^2)^2-4p^2q^2$). Если рассматривать уравнение (1) в целых числах, то легко видеть, что при $3p+2q=0$ имеем $a^2=(p+q)^4$, и значит, $a=(p+q)^2$, т.е. можно найти бесконечное множество решений в целых числах. А вот как понять, когда (1) разрешимо в натуральных числах? Некоторые$p,q$, удовлетворяющие (1), можно просто подобрать с помощью компьютера, но найти семейсто решений не получается...

Замечу, что условие $3p+2q=0$ дает лишь одно решение (при условии взаимной простоты). Не думаю, что бесконечность числа целых (примитивных) решений доказать проще, чем бесконечность числа натуральных.

[RIP]

Расскажу, как решал я.
Решаем уравнение в натуральных числах

$$a^2=(p^2-q^2+2pq)^2-8p^2q^2$$

Условия на $p,q$: $(p,q)=1$, $p$ и $q$ разной четности (если $p,q$ - решение, то это следует из $(p,q)=1$), $\frac pq>\sqrt2+1$.
Удобнее решать уравнение в рациональных числах

$$(u^2+2u-1)^2-8u^2=v^2$$

Уравнение $\alpha^2-8\beta^2=\gamma^2$ имеет серию решений

$$\alpha=2c^2+d^2,\ \beta=cd,\ \gamma=2c^2-d^2$$

Итак, попробуем решить систему

$$u=cd$$

$$u^2+2u-1=2c^2+d^2=2c^2+\frac{u^2}{c^2}$$

Получаем уравнение

$$(1-\frac1{c^2})u^2+2u-1-2c^2=0$$

Из него находим $u$

$$u=\frac{c(\sqrt{2c^4-1}-c)}{c^2-1}=\frac{c(2c^2+1)}{\sqrt{2c^4-1}+c}$$

Надо, чтобы $2c^4-1$ было точным квадратом. Это очень тесно связано с исходной системой, т.к.

$$(x-y)^2+a^4=2b^4$$

т.е. достаточно взять $c=\frac ba$.
Отсюда и способ получения бесконечного множества решений (думаю, что по сути это размножение точек на эллиптической кривой.)
Начинать можно, например, с $u=\frac32.$ Попеременно будем получать решение в целых и натуральных $x,y$