Как вычислять изгиб

[Шимпанзе]

VPro в сообщении #421287 писал(а):

А Вы, если хотите получить именно уравнение линии изгиба

В том то и дело, что для данной задачи уравнение изгиба всей балки знать не надо. Надо знать лишь максимальный изгиб в центре балки. Соединить графически три точки, две на концах и одна в середине не представляет трудности, особенно, если учесть способности топикстартера к рисованию…
Если уж пошла такая "пьянка", то скажу, что приблизительно максимальный изгиб можно получить из следующих простых соображений. В середине балки, в ее окрестности ( ${L/2 \pm\delta}$), момент можно принять постоянным, независимым от координаты х, тогда сразу получаем

$y=\frac{qL^4}{32EJ}\cos\alpha$


здесь q - погонный вес балки.

[Reactor9]

Шимпанзе

Цитата:

Вы все правильно делаете, но с позиции чистой физики. Если же задачу рассматривать с технической стороны - а именно так обстоит дело , прочтите первый пост,- то задачка решается гораздо проще. В частности, диф. уравнение будет второй степени, как писал: а именно
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{M(x)}{EJ}\cos\alpha $.
Ясно, что интересен максимальный прогиб балки , момент на середине балки равен:
$M(L/2)=\frac{\rho gL^2}{8}$
Далее никаких проблем.

Значит так, что эти символы означают?
M-это масса стержня? Или этот «момент»?
L-длина стержня?
p- удельная плотность (погонный вес, кг/м)-(уже написано)
g- ускорение свободного падения-(уже написано)
И-можно сразу использовать эту формулу? Без всякого диф. уравнения?

Цитата:

Если уж пошла такая "пьянка", то скажу, что приблизительно максимальный изгиб можно получить из следующих простых соображений. В середине балки, в ее окрестности ( ${L/2 \pm\delta}$), момент можно принять постоянным, независимым от координаты х, тогда сразу получаем

$y=\frac{qL^4}{32EJ}\cos\alpha$

здесь q - погонный вес балки.

E-модуль Юнга
J-момент инерции сечения стержня
И полученный y и будет величина изгиба?

[Шимпанзе]

Reactor9 в сообщении #421467 писал(а):

И полученный y и будет величина изгиба?

Да, максимальный прогиб в середине балки.

[Reactor9]

Шимпанзе в сообщении #421471 писал(а):

Reactor9 в сообщении #421467 писал(а):

И полученный y и будет величина изгиба?

Да, максимальный прогиб в середине балки.

Цитата:

$y=\frac{qL^4}{32EJ}\cos\alpha$

Значит вычисляем, допустим что у нас есть цилиндрический стержень, его радиус-1 метр а длинна 1000 м. Ясно что его объем будет 3140 м^3. Используем Углеродные нанотрубки, их плотность меняется в пределах 0.037-1.34 тонн/м^3 (написано тут http://en.wikipedia.org/wiki/Specific_strength), возьмем 0.1 тонн/м^3 (10 раз легче воды), масса этого стержня будет 314 000 кг. Модуль Юнга у Углеродных нанотруб-1 000 GPa (http://en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus). Если там угол 45 º то COS45º= 0.707, момент инерции сечения стержня-это настолько мне известно вычисляется так-(пи*r^4)/4 у нас будет 0.785, погонный вес балки-......как это надо вычислять?

[EvgenyGR]

Какая-то мутная задача. Толи бака толи трос, как закреплена в «небоскреб» толи жестко толи шарнирно, а может просто свободно лежит. А что касается удельной прочности на разрыв, то например для арматурной стали это 32-36 кг на квадратный миллиметр.

[Reactor9]

EvgenyGR

Цитата:

Толи бака толи трос

Балка, можно сказать "стержень" но не трос

Цитата:

как закреплена в «небоскреб» толи жестко толи шарнирно

Жестко прикреплен

Тут погонный вес балки это кажется вес балки (цилиндра) с высотой 1 метр. Объем такого стержня будет 3,14 м^3, а вес 0,314 тонн, то есть 314 кг.
Вычисляем:

Результат верный? Изгиб будет 8,8 метр?

[Reactor9]

Цитата:

$M(L/2)=\frac{\rho gL^2}{8}$

Вычисляем:

Что-то не то.......

[EvgenyGR]

То заделано, то свободно лежит Вы уж как-то определитесь. Дело в том что от этих мелочей зависит возможность применения тех или иных гипотез. Вот смотрите
Концы тонкого стержня жестко или шарнирно заделаны (в точках крепления) между двумя небоскребами (т.е. расстояние между точками крепления не меняется ), а прогиб большой (отношение прогиба к длине стержня), то это фактически трос, и тут лучше использовать гипотезу что стержень прогнут по цепной линии, и считать исходя из этого.
Если другой конец свободен, а прогиб большой (отношение прогиба к длине стержня), то обычное уравнение для прогиба стержня не годиться, оно не учитывает геометрическую нелинейность. Проще говоря, если взять решение такого уравнения для больших прогибов, то нетрудно понять что стержень растянулся, а на практике он растягивается очень не значительно. В выводе уравнения для балки пренебрегают растяжением средний линии.
Если у Вас это последний случай (свободный конец и большой прогиб) то тогда придется решать краевую задачу для нелинейного диф. уравнения четвертой степени.

[Батороев]

(Оффтоп)

Учите сопромат и найдете... если даже не считаете его наукой.

Цитата:

Еще в 1757 Л.Эйлер вывел формулу для кривизны изогнутой балки. В этой формуле кривизна балки выражается через переменный изгибающий момент. Чтобы найти ординату упругой кривой (прогиб), необходимо брать двойной интеграл. В 1868 О.Мор (Германия) предложил метод, основанный на эпюрах изгибающих моментов. Этот графоаналитический метод имеет огромное преимущество перед прежними методами, так как позволяет свести все математические вычисления к сравнительно простым арифметическим выкладкам. Он дает возможность вычислять прогиб и наклон в любой точке балки при любой нагрузке.

[EvgenyGR]

Батороев в сообщении #426965 писал(а):

Он дает возможность вычислять прогиб и наклон в любой точке балки при любой нагрузке.

Угу при уменьшении момента жесткости балки (вроде так зазывается), а проще говоря толщины. Реальная «балка» «провиснет» как веревка т.е. «прогиб» балки со свободным концом не может быть больше длинны балки. А вот в линейной постановки прогиб устремится к бесконечности. Дело не в сопромате, а в понимании границ его применимости, и соответствующим выборе моделей, и это не наука , а скорее опыт и инженерное чутье.

[Батороев]

(Оффтоп)

EvgenyGR в сообщении #426994 писал(а):

Угу при уменьшении момента жесткости балки (вроде так зазывается), а проще говоря толщины. Реальная «балка» «провиснет» как веревка т.е. «прогиб» балки со свободным концом не может быть больше длинны балки. А вот в линейной постановки прогиб устремится к бесконечности. Дело не в сопромате, а в понимании границ его применимости, и соответствующим выборе моделей, и это не наука , а скорее опыт и инженерное чутье.

Инженерное чутье - это когда проектировщик наперед знает, что балка провиснет, как веревка. В остальных случаях всегда проводятся расчеты. В первую очередь, проводят расчет на изгиб, т.е. не произойдут в балке под действием нагрузок пластические деформации, затем проводят расчет на жесткость, определяя деформацию балки в пределах упругих деформаций.

Я привел цитату с целью показать, что приемы сопромата могут существенно облегчить труд проектировщика. Поэтому предложил топик-стартеру на будущее ознакомиться некоторыми главами сопромата. Естественно, если это обсуждение в теме для него не разовый расчет, с которым участники обсуждения рано или поздно все равно справятся.

В полемику на предмет научности-ненаучности сопромата даже вступать не буду, т.к. для меня это всегда был очень удобный инструментарий, а разработали его ученые или не ученые для меня не суть важно. Они сделали хорошее дело... в отличие от многих кандидатов и докторов наук, диссертации которых даже коллеги не читают.

[EvgenyGR]

Батороев в сообщении #427010 писал(а):

В первую очередь, проводят расчет на изгиб, т.е. не произойдут в балке под действием нагрузок пластические деформации, затем проводят расчет на жесткость, определяя деформацию балки в пределах упругих деформаций.

Да нет, большие деформации тут ни причем, они как раз малые, дело в геометрической нелинейности. Когда выписывается формула для кривизны через прогиб, делают линеаризацию (берут дифференциал, линейную часть от разложения в ряд Тейлора). Это можно только для малых прогибов.

[Шимпанзе]

Reactor9 в сообщении #426610 писал(а):

Изгиб будет 8,8 метр?

Расчет численно не проверял, но для километровой длине балки прогиб в 8 метров очень даже похоже.

[Reactor9]

EvgenyGR

Цитата:

Концы тонкого стержня жестко или шарнирно заделаны (в точках крепления) между двумя небоскребами (т.е. расстояние между точками крепления не меняется ), а прогиб большой (отношение прогиба к длине стержня), то это фактически трос, и тут лучше использовать гипотезу что стержень прогнут по цепной линии, и считать исходя из этого.

Дело в том что я пока не знаю настолько большим будет изгиб, сначала именно это нужно установить

Цитата:

Если другой конец свободен, а прогиб большой (отношение прогиба к длине стержня), то обычное уравнение для прогиба стержня не годиться, оно не учитывает геометрическую нелинейность. Проще говоря, если взять решение такого уравнения для больших прогибов, то нетрудно понять что стержень растянулся, а на практике он растягивается очень не значительно. В выводе уравнения для балки пренебрегают растяжением средний линии.
Если у Вас это последний случай (свободный конец и большой прогиб) то тогда придется решать краевую задачу для нелинейного диф. уравнения четвертой степени.

Нет, у этого стержня обе концы прикреплены я чуть раньше уже решал такую задачу когда один конец стержня (не троса!) свободен и он поднят в атмосфере с помощью этого онлайн-калькулятора: http://www.engineersedge.com/beam_bendi ... tion_8.htm а сейчас ищу ответ на этот вопрос, как вы думайте мой ответ (изгиб 8,8 метр) верно?
Батороев

Цитата:

Еще в 1757 Л.Эйлер вывел формулу для кривизны изогнутой балки

То есть для стержня у которого один конец свободен? Это не нужно, у меня обе концы прикреплены

Цитата:

Я привел цитату с целью показать, что приемы сопромата могут существенно облегчить труд проектировщика. Поэтому предложил топик-стартеру на будущее ознакомиться некоторыми главами сопромата

Я сделал бы так если я был инженером или проектировщиком, но мне нужно решить эту задачу пожалуй только один раз и все

[Шимпанзе]

Reactor9 в сообщении #426716 писал(а):

Что-то не то.......

А зачем нужно знать момент, если прогиб уже вычислили. В формуле прогиба момент уже учтен.