Точки перегиба функции

[Ёж]

В книжке написано, что точка $(x_0,f(x_0))$ называется точкой перегиба кривой $y=f(x)$, если для достаточной малой окрестности точки $x_0$ для $x<x_0$ кривая выпукла (вогнута), а для $x>x_0$ - вогнута (выпукла).
А в другой книге пишут, что точка $x_0=0$ не является точкой перегиба функции

$$ y=\left\{ \begin{array}{l} x^2, \text{ если } x\leq 0\\ \sin x, \text{ если } x>0 \end{array} \right. $$

Почему точка $x_0=0$ не является точкой перегиба данной функции, хотя кривая в этой точке меняет характер своей изогнутости?

[MaximVD]

Нарисуйте аккуратно график этой функции и посмотрите внимательно. "Характер своей изогнутости" она, к сожалению, не изменяет.

[Алексей К.]

Я посмотрел свои книжки, надеясь выловить формальное необходимое условие для применения определения, типа там "дважды непрерывно дифференцируемая". Но не нашёл. Оно, похоже, и не нужно: $\begin{picture}(100,20) \qbezier(0,10)(25,30)(50,10)\put(50,10){\circle*{2}}\qbezier(50,10)(75,-10)(100,10)\end{picture}$(считаем, что это две дуги окружности: вторая производная разрывна, точка перегиба налицо).
Все мои определения базируются на существовании касательной в этой точке. А у вашей кривой-функции даже вшивенькой касательной нет. Или книжка плохая, или Вы не доцитировали.

[Ёж]

Хотел только уточнить, существование касательной в точке перегиба существенно или нет (т.е. в точке перегиба вторая производная функции может быт равна нулю или бесконечности или же может и не существовать)?

-- Чт мар 24, 2011 00:11:15 --

MaximVD в сообщении #426861 писал(а):

Нарисуйте аккуратно график этой функции и посмотрите внимательно. "Характер своей изогнутости" она, к сожалению, не изменяет.

функция $y=x^2$ при $x<0$ выпукла, а функция $y=\sin x$ при $x\in (0,\pi)$ вогнута?

[Алексей К.]

В качестве определения ребята пишут, что кривая в достаточно малой окрестности точки перегиба расположена по разные стороны от касательной в этой точке.
Пися так, они, естественно, считают, что необходимость существования касательной ежу понятна, и не утруждают себя дополнительным акцентированием этого факта.

Естественно, существование единой касательной необходимо (а не отдельно левой-правой, как в Вашем примере).

[Ёж]

Алексей К. в сообщении #426868 писал(а):

Я посмотрел свои книжки, надеясь выловить формальное необходимое условие для применения определения, типа там "дважды непрерывно дифференцируемая". Но не нашёл. Оно, похоже, и не нужно: $\begin{picture}(100,20) \qbezier(0,10)(25,30)(50,10)\put(50,10){\circle*{2}}\qbezier(50,10)(75,-10)(100,10)\end{picture}$(считаем, что это две дуги окружности: вторая производная разрывна, точка перегиба налицо).
Все мои определения базируются на существовании касательной в этой точке. А у вашей кривой-функции даже вшивенькой касательной нет. Или книжка плохая, или Вы не доцитировали.

Почему то в одних книжках определение точки перегиба действительно базируются на существовании касательной в этой точке. А в других на смену характера своей изогнутости. Вот я и запутался!

-- Чт мар 24, 2011 00:26:21 --

Алексей К. в сообщении #426875 писал(а):

Естественно, существование единой касательной необходимо (а не отдельно левой-правой, как в Вашем примере).

А в моем случае как быть? Написать, что в этой точке касательная не существует, поэтому данная точка не является точкой перегиба?

[Алексей К.]

Ну простим их. В этой долбаной математике так часто бывает: я на форуме наслушался споров на тему что как надо определять.

Ёж в сообщении #426881 писал(а):

А в других на смену характера своей изогнутости.

Когда точку перегиба определяют так, то всё равно подразумевают существование касательной. И при этом условии + выходной день, наверное, даже я смог бы доказать тождественность двух определений.

-- 23 мар 2011, 23:38 --

Ёж в сообщении #426881 писал(а):

А в моем случае как быть? Написать, что в этой точке касательная не существует, поэтому...

Думаю, именно так.

[Ёж]

Алексей К.

Спасибо!

[Алексей К.]

Типа "Точка перелома кривой не может быть её точкой перегиба!" И смайлики всякие вокруг...

[AKM]

Только не стоит, по-моему, говорить "точка перегиба функции", как у Вас в заголовке.
"Точка перегиба кривой". В частности, "точка перегиба графика функции" (это тоже кривая).