Определение коники (проективная геометрия)

[Алексей К.]

David Sunrise в сообщении #426386 писал(а):

но ведь точка в проективной плоскости и есть прямая

Когда-то я с удовольствием прочитал "Высшую геометрию" Ефимова. Вроде точка там не была прямой. Там был некий чудный принцип двуличия проективной геометрии, согласно которому из утверждения "если точка ..., то прямая ..." можно было адекватной заменой терминов получить утверждения "если прямая ..., то точка..."

Когда один из участников форума вернёт мне книгу, я её охотно перечитаю. (я тебя не тороплю!)

[Xaositect]

David Sunrise в сообщении #426392 писал(а):

Ну это уравнение плоскости,а она пересекает какую-то плоскость(в которой все происходит) по прямой...так?

Да, так и есть. Есть, разумеется крайние случаи (бесконечно удаленная прямая, соответствующая параллельной плоскости), но прелесть проективной геометрии как раз в том, что эти случаи учитываются так же, как и основные.

Дальше, понятно ли, что проективное преобразование - это просто линейное преобразование однородных координат? Как у Вас вообще определялось проективное преобразование?

[David Sunrise]

мне почему то кажется что ${A^{-1}}^T$,так преобразовываются координаты прямой....
$\left( \begin{array}{cc} x_2 \\ y_2\\ z_2 \end{array} \right)$=$A \left( \begin{array}{cc} x_1 \\ y_1\\z_1 \end{array} \right)$
Далее...так как прямая есть $\left( \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \end{array} \right)$$\left( \begin{array}{cc} x_1 \\ y_1\\ z_1 \end{array} \right)$=0
То...$\left( \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \end{array} \right)$$A^{-1}$$ \left( \begin{array}{cc} x_2 \\ y_2\\z_2 \end{array} \right)$=$\left( \begin{array}{ccc} a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right)$$ \left( \begin{array}{cc} x_2 \\ y_2\\z_2 \end{array} \right)$
То транспонируя получаем...$\left( \begin{array}{cc} a_2 \\ b_2\\ c_2 \end{array} \right)$=$A^{-1}^{T}$$ \left( \begin{array}{cc} x_1 \\ y_1\\z_1 \end{array} \right)$

Везде координаты с индексом 1 старые а с индексом 2 новые...



-- Ср мар 23, 2011 00:43:20 --

Ну как мне сказали,когда я потребовал проективное преобразование в общем виде,это просто умножение на матрицу 3х3 (в проективной плоскости),то есть по видимому линейное преобразование однородных координат...



Вроде понятно...

-- Ср мар 23, 2011 00:48:04 --

Цитата:

Когда-то я с удовольствием прочитал "Высшую геометрию" Ефимова. Вроде точка там не была прямой. Там был некий чудный принцип двуличия проективной геометрии, согласно которому из утверждения "если точка ..., то прямая ..." можно было адекватной заменой терминов получить утверждения "если прямая ..., то точка..."

Это чуть-чуть не то это принцип двойственности...

[Xaositect]

David Sunrise в сообщении #426433 писал(а):

так преобразовываются координаты прямой

В принципе идея правильная. Для того, чтобы строго обосновать, надо отметить, что предпоследнее равенство выполняется при любом $(x\colon y\colon z)$.

Идем дальше. Пучок прямых - это просто семейство прямых, где $a,b,c$ линейно зависят от какого-то параметра. Это просто.
Раз уж координаты преобразуются линейно, то пучок переходит в пучок.
То есть надо найти пересечение двух прямых, относящихся к двум разным пучкам(исходному и образу), отвечающих одному и тому же значению параметра. В полном виде это будет так:
$\begin{cases}(a_0+pa)x+(b_0+pb)y+(c_0+pc)z = 0\\(A_0+pA)x+(B_0+pB)y+(C_0+pC)z = 0\end{cases}$.
Попробуйте записать решение в зависимости от $p$.

[David Sunrise]

Можно зафиксировать какую то плоскость $lx+ky+mz+n=0$,ну и найти решения с той системой которую вы написали,это будет уравнение второй степени от $p$,ну то есть решения для каждого $x,y,z$,это то что требуется или я сказал что то не верно?,а линейные выражения от $p$,стоящие в уравнение первого пучка,преобразуются так же с помощью ${A^{-1}}^{T}$ ?или это даже не важно главное что линейно?

[Xaositect]

Вот как раз здесь лучше не фиксировать плоскость, в которой мы работаем, а решить эти два уравнения и получить некоторую проективную точку (прямую, проходящую через 0). В принципе, не обязательно выписывать решение явно, если Вы сможете доказать, что его можно записать в виде $(x\colon y\colon z) = (q_x(p)\colon q_y(p)\colon q_z(p))$, где $q$ - это квадратные многочлены.

[David Sunrise]

Цитата:

Попробуйте записать решение в зависимости от .

Это вы имели в виду $p$,является каким то параметром и его не трогать,тогда у меня ур 2 переменных 3,для этого и ввожу плоскость,а как без нее делать я не понял....(((
Или вот так:
$(a_0x+b_0y+c_0z)/(ax+by+cz)$=(A_0x+B_0y+C_0z)/(Ax+By+Cz) (просто выразил $p$ ну и понятно что получится квадратное ур от $x,y,z$),ведь по моему надо чтоб получился квадратное ур от переменных которыми мы задаем координаты....

[Xaositect]

David Sunrise в сообщении #426625 писал(а):

$(a_0x+b_0y+c_0z)/(ax+by+cz)$=(A_0x+B_0y+C_0z)/(Ax+By+Cz) (просто выразил $p$ ну и понятно что получится квадратное ур от $x,y,z$),ведь по моему надо чтоб получился квадратное ур от переменных которыми мы задаем координаты....

Да, так даже значительно лучше, чем я хотел. Я этого не заметил, за параметризацией погнался.
То есть мы получили уравнение $Q(x,y,z) = 0$, где $Q$ - квадратичная форма. Надо показать, что это коника. Как у Вас вообще коника определялась?

Если разделить его на $z^2$, то мы получим уравнение $Q'(\frac{x}{z},\frac{y}{z}) = 0$, где $Q'$ - квадратный многочлен от 2 переменных. Это уравнение кривой второго порядка (Если $(x\colon y\colon z)$ - это однородные координаты точки, и $z\neq 0$, то $(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$ - это ее координаты на аффинной плоскости ($z=1$))

[David Sunrise]

А ну значит все получилось)Коника определялась как любая кривая второго порядка задающаяся уравнением второй степени,то есть уравнения второй степени достаточно...поледний вопрос:а тот разговор на счет линейного преобразования $A,A^{-1}^{T}$,требовался для того чтобы доказать что это преобразование линейное и два пучка прямых линейно зависят от $p$, правильно я понял?

[Xaositect]

David Sunrise в сообщении #426683 писал(а):

правильно я понял?

Да.

[David Sunrise]

Спасибо огромное!!!