Знакопостоянный несобственный интеграл

[swact]

Проверьте, правильно ли я нашел $a$, при которых интеграл $J$ будет сходиться?
$\[J = \int\limits_5^{ + \infty } {\frac{{\arctan ({x^{ - 3}})dx}}{{{{(\cosh x - \cos x)}^a}}}} \]$
Решение: интеграл имеет единственную особенность в $+\infty$
$\[\begin{array}{l} \arctan ({x^{ - 3}}) \sim {x^{ - 3}}\\ {(\cosh x - \cos x )^a} \sim \frac{{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{xa}}}}{2}\\ \frac{{\arctan ({x^{ - 3}})dx}}{{{{(\cosh x - \cos x)}^a}}} \sim \frac{C}{{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{xa}}{x^{ 3}}}} \end{array}\]$
Откуда получаем условие сходимости $xa\le 0$$\Rightarrow$$a\le 0$, т.к. $x>5$

[ewert]

Ответ верен. За исключением того, что я не понял, что такое "ха", но для Вас это традиционно. И ещё: $\cosh x$ в приличном опчестве принято обозначать всё-таки как $\ch x$.

[Полосин]

$a\ge0$.

[laplas_the_best]

Цитата:

$$ \frac{{\arctan ({x^{ - 3}})dx}}{{{{(\cosh x - \cos x)}^a}}} \sim \frac{C}{{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{xa}}{x^{ 3}}}} \end{array}\]$$

Желательно - $dx$ убрать=)

[ewert]

(Оффтоп)

Полосин в сообщении #426456 писал(а):

$a\ge0$.

Тьфу ты, а я даже и не обратил внимания на направление. Привыкнув, что конкретно этот товарищ предпочитает решать задачки, исключительно не приходя в сознание, а ориентируясь исключительно на обрывки шаблонов.

[swact]

Да кстати $a\ge0$, ну это моя опечатка, тороплюсь.
ewert
А как по вашему надо записывать?
сразу после
$\frac{{\arctan ({x^{ - 3}})}}{{{{(\cosh x - \cos x)}^a}}} \sim \frac{C}{{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{xa}}{x^{ 3}}}}$
нужно сразу писать , что интеграл сходится при $a\ge 0$?
Или дополнить неравенством в конце $\frac{{\arctan ({x^{ - 3}})}}{{{{(\cosh x - \cos x)}^a}}} \sim \frac{C}{{{{\mathop{\rm e}} ^{xa}}{x^{ 3}}}}$$\le \frac{C}{{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a}}}}$
и только потом писать ответ, что при $a\ge 0$ интеграл сходится?

-- Ср мар 23, 2011 01:39:58 --

Не понимаю в чем мой $x$ виноват

[laplas_the_best]

Цитата:

Или дополнить неравенством в конце $\frac{{\arctan ({x^{ - 3}})}}{{{{(\cosh x - \cos x)}^a}}} \sim \frac{C}{{{{\mathop{\rm e}} ^{xa}}{x^{ 3}}}}$$\le \frac{C}{{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a}}}}$
и только потом писать ответ, что при $a\ge 0$ интеграл сходится?

оО Это лучше не писать) В показателе экспоненты пропал $x$

А как же $x^3$ пропал. Где же это все?=)

[ewert]

swact в сообщении #426464 писал(а):

А как по вашему надо записывать?

Надо записывать -- молча и сознательно. Ссылаясь на какие-нибудь теоремы. Вот умоляю, ради бога: приведите хоть одну теорему, в которой (в том, что касается сходимости рядов) из "$xa\leqslant0$" ну хоть что-то следовало бы?...

-- Ср мар 23, 2011 02:44:20 --

(Оффтоп)

laplas_the_best в сообщении #426468 писал(а):

Где же это все?=)

Любой разумный ответ на этот вопрос противоречил бы правилам форума.

[laplas_the_best]

(Оффтоп)

Так красивее

[swact]

ewert
Ряды... Программа по матану так построена, что ряды идут уже после несобственных интегралов, я не могу ответить что-либо разумное.
Тут что, сходимость ряда используется в качестве доказательства?

[ewert]

swact в сообщении #426471 писал(а):

Программа по матану так построена, что ряды идут уже после несобственных интегралов

Совершенно правильно построена (про ряды я оговорился, имелись в виду, конечно, именно интегралы).

swact в сообщении #426471 писал(а):

я не могу ответить что-либо разумное

Не можете -- лучше промолчите. А если захочется что-то сказать -- говорите сознательно. Со ссылками.

[swact]

Ну ладно, напишу $\frac{{\arctan ({x^{ - 3}})}}{{{{(\cosh x - \cos x)}^a}}} \sim \frac{C}{{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{xa}}{x^{ 3}}}}\Rightarrow$ при $a \ge 0$ интеграл сходится. Проще и красивее. Но если не трудно, то напишите объяснение каким образом из $\frac{C}{{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{xa}}{x^{ 3}}}}$ нужно правильно делать вывод о сходимости соответствующего интеграла при $a \ge 0$

-- Ср мар 23, 2011 02:12:27 --

Кажется сам додумался. Нужно сделать замену $e^x=t$ и получить $\[\int\limits_e^{ + \infty } {\frac{{Cdt}}{{{t^{a - 1}}{{\ln }^3}t}}} \]$, чья сходимость уже очевидна при $a\ge0$

-- Ср мар 23, 2011 02:12:56 --

Если есть способы проще, то поделитесь.

[ewert]

swact в сообщении #426473 писал(а):

напишите объяснение

Есть такой бородатый анекдот. Про советского лётчика во Вьетнаме (правда, это вроде как анахронизм, во Вьетнаме наших лётчиков вроде не было, а были ранее в Корее, тем не менее анекдот гулял почему-то именно про Вьетнам, ну да не суть).

Итак, сбили его америкосы, и попал он в плен. Уж как его америкосы ни пытали -- ничего не выдал. Ну обменяли, вернулся домой. Все спрашивают:

-- Ну как же, как же тебе удалось всё это выдержать?...
-- (всхлипывая) Учите матчасть, ребята! Там так бьют, так бьют...

[swact]

ewert в сообщении #426477 писал(а):

Учите матчасть

хотелось бы поконкретней...
ну да ладно, пора спать

[ewert]

swact в сообщении #426478 писал(а):

хотелось бы поконкретней...

Да куда уж конкретнее. Просто учите матчасть. И отдавайте себе (хотя бы себе) отчёт в смысле произносимых Вами же слов.