Уравнение теплопроводности.Однородный шар

[makapona37]

Дан однородный шар радиуса R=5см при температуре равной нулю. Шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потоком 500ккал/м^2*ч. Найти распределение температуры по радиусу шара в любой момент времени. Начальные и граничные условия: $T(r,0)=0$; $\frac{\partial T}{\partial r}(0,t)=0; \frac{\partial T}{\partial t}(R,t)=\frac{q}{k}$
($k$=0.91ккал/м^2*ч*с; $a^2$=0.04м^2/ч; $t_k$=0.2ч)

Как я понял уравнение теплопроводности будет иметь вид $\frac{\partial T}{\partial t}=a^2(\frac{\partial^2 T}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial T}{\partial r})$, и оно легко преобразуется в $\frac{\partial v}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2 v}{\partial r^2}$ заменой $v(r,t)=ru(r,t)$. Но какие тогда будут начальные и граничные условия? И еще какую литературу вы посоветуете для аналитического и численного решения этой задачи.

Заранее спасибо.

[Полосин]

Тихонов, Самарский. Уравнения математической физики.

[makapona37]

В задании была ошибка, вместо $\frac{\partial T}{\partial t}(R,t)=\frac{q}{k}$ будет $\frac{\partial T}{\partial r}(R,t)=\frac{q}{k}$. Из Лыкова "Теория теплопроводности" я могу взять аналитическое решение, которое будет

$T(r,t)-T_0=\frac{qr}{k}[\frac{3at}{R^2}-\frac{3R^2-5r^2}{10r^2}-\sum^\infty_{n=1}\frac{2}{\mu^2_ncos\mu_n}\frac{Rsin\mu_n\frac{r}{R}}{r\mu_n}exp(-\mu^2_n\frac{at}{R^2})]$

Но, когда я составляю конечно разностную схему, то результаты работы программы и результаты аналитического решения не совпадают.

$\frac{U_{m,n+1}-U_{m,n}}{l}=a(\frac{U_{m+1,n}-2U_{m,n}+U_{m-1,n}}{h^2}+\frac{2}{r_m}\frac{U_{m+1,n}-U_{m,n}}{h})$

$A_m=1-\frac{2al}{h^2}-\frac{2a}{r_mh};\ B_m=\frac{al}{h^2}+\frac{2al}{r_mh};\ C=\frac{al}{h^2}$

$U_{m,n+1}=A_mU_{m,n}+B_mU_{m+1,n}+CU_{m-1,n}$

Из граничных условий: $U_{1,n+1}=U_{2,n+1};\ U_{N,n+1}=U_{N1,n+1}+\frac{qh}{k}$

При $h=0.01;\ \ l=0.0004$, например $T(0.02,0.16)=273.042$, тогда как точное решение: $T(0.02,0.16)=173.214$. И еще когда во взятое из Лыкова решение подставлять во время небольшие значения, то функция становится отрицательной.

Подскажите, пожалуйста, в чем ошибка. Просто через неделю сдавать курсовую, а я не могу понять что не так. Заранее спасибо.

[svv]

Вы используете уравнение теплопроводности $\frac{\partial T}{\partial t}=a^2 \Delta T$, а у Лыкова оно имеет вид $\frac{\partial T}{\partial t}=a \Delta T$.
Это допустимо. Просто Вы и Лыков буквой $a$ обозначаете разные величины: Ваше $a^2$ равно "лыковскому" $a$.

Но вот что меня беспокоит. Задав численное значение $a^2$ в Вашем смысле, Вы дословно воспроизводите аналитический вид решения из Лыкова, согласованный, естественно, с его пониманием $a$. Не приведет ли это к ошибке при сопоставлении?

makapona37 писал(а):

... заменой $v(r,t)=ru(r,t)$. Но какие тогда будут начальные и граничные условия?

Этот вопрос отпадает, потому что в разностной схеме Вы не применяете этой замены.

makapona37 писал(а):

$\frac{U_{m,n+1}-U_{m,n}}{l}=a(\frac{U_{m+1,n}-2U_{m,n}+U_{m-1,n}}{h^2}+\frac{2}{r_m}\frac{U_{m+1,n}-U_{m,n}}{h})$

С этим будет что-то нехорошее не только при $r_m=0$ (думаю, на ноль Вы всё же не делите), но и при близких значениях. Здесь будет падать точность.
(Зато, я вижу, здесь у Вас $a$ в "лыковском" смысле, так что, возможно, в том я Вас зря подозревал.)

makapona37 писал(а):

$A_m=1-\frac{2al}{h^2}-\frac{2a}{r_mh}$

Третье слагаемое не забыли на $l$ умножить?

makapona37 писал(а):

$U_{N,n+1}=U_{N1,n+1}+\frac{qh}{k}$

Либо $U_{N,n+1}=U_{N-1,n+1}+\frac{qh}{k}$, либо $U_{N,n+1}=U_{N+1,n+1}-\frac{qh}{k}$ (поскольку должно быть $\frac{\partial T}{\partial r}>0$, а все константы у Вас вроде положительные).

[svv]

makapona37 писал(а):

k=0.91ккал/м^2*ч*с

Непонятна размерность. В СИ это Вт/(м*К), тогда у Вас должно быть ккал/(м*ч*К).
0.91 -- это чего?

У Лыкова общий множитель $\frac{qR} k$, а у Вас $\frac {qr} k$. Правда, вижу, что считали Вы "по Лыкову" все-таки с $R$, а ошиблись только при наборе формулы.

И ещё. Экспонента в формуле Лыкова при Ваших константах и $t=0.16$ даже для $n=1$ настолько мала ($10^{-23}$), что весь ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}$ можно вообще выбросить, и Вы получите для $T(0.02, 0.16)$ то же значение $173.214$. Проверьте мое заявление. Это не подозрительно?

[svv]

makapona37 писал(а):

И еще когда во взятое из Лыкова решение подставлять во время небольшие значения, то функция становится отрицательной.

В формуле Лыкова, возможно, вместо $\frac{3R^2-5r^2}{10 r^2}$ следует читать $\frac{3R^2-5r^2}{10 R^2}$. Сравните у него на предыдущей странице $\frac {r^2}{2R^2}-\frac 3 {10}$, откуда и "получилось" это выражение.

Это смягчает проблему с минусами и немного уменьшает расхождение, но не полностью.