Сферическая система координат

[shwedka]

evgeniy в сообщении #426188 писал(а):

Есть аргумент в чем ошибка. В результате моих рассуждений, определяются точки на сфере, $s_l$,

ошибка указана. Неправильно вычислен полный дифференциал $s_l$.

evgeniy в сообщении #426176 писал(а):

Таким образом определяюся координаты $s_l$.

и тепрь по-честному считайте полный дифференциал. со всеми подробностями.

[evgeniy]

В результате решения задачи на экстремум получена функция u(v). Причем в конечной точкн она соответствует фиксированной координате точки (u,v). Но повторяю получена функция u=u(v), в частности имеющая значение в конечной точке. Строится интеграл
$s_l=\int_{v=0}^{v}\sqrt{\lambda_l[u(v),v]}(g_{l1}[u(v),v]\frac{du(v)}{dv}+g_{l2}[u(v),v])dv,l=1,2$
обращаю Ваше внимание, что подынтегральная функция, это функция от v, причем и в граничной точке. Получаем зависимость координаты $s_l,l=1,2$ от кривой u(v) и фиксированной в конечной точке, координате v. Эта зависимость в частности определяет и граничную точку по формуле u=u(v).

[shwedka]

evgeniy в сообщении #426213 писал(а):

В результате решения задачи на экстремум получена функция u(v). Причем в конечной точкн она соответствует фиксированной координате точки .

У Вас путаница в обозначениях. вы одними и теми же символами обозначаете точку (u,v), в которой надо найти новые координаты, и переменные на кривой, идущей в эту точку.

evgeniy в сообщении #426213 писал(а):

Эта зависимость в частности определяет и граничную точку по формуле u=u(v).

абсолютно неверно. Из-за указанной выше путаницы Вы забыли, что точка (u,v) - это точка, где нужно вычислить значение новых переменных. Именно в нее вы проводите свои (никому не нужные) кривые.

shwedka в сообщении #426195 писал(а):

и теперь по-честному считайте полный дифференциал. со всеми подробностями.

По-честному, по формуле полного дифференциала.

$$ds_2=\frac{\partial s_2}{\partial u}du+\frac{\partial s_2}{\partial v}dv$$

никаких других формул полного дифференцила не бывает.

[evgeniy]

Пожалуйста запишу формулу без путаницы. Ищется кривая u(v) из минимума функционала, c зафиксированной начальной (0,0) и конечной точки $(u_0,v_0)$. пРичем справедливо $u_0=u(v_0)$.
считается интеграл по определению координаты $s_l$
$s_l=\int_{v=0}^{v_0}\sqrt{\lambda[u(v),v]}(g_{l1}[u(v),v]\frac{du(v)}{dv}+g_{l2}[u(v),v])dv$
подынтегральное выражение, это функция одной переменой v. пРичем справедлива формула
$\frac{ds_l}{dv_0}=\sqrt{\lambda[u(v_0),v_0]}(g_{l1}[u(v_0),v_0]\frac{du(v_0)}{dv}+g_{l2}[u(v_0),v_0])$
Вы хотите, чтобы я написал, что подынтегральное выражение зависит от $u_0$. Так этого нет, подынтегральное выражение зависит от u(v), причем величина v переменная интегрирования.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #426290 писал(а):

Вы хотите, чтобы я написал, что подынтегральное выражение зависит от $u_0$.

Нет не хочу,хочу, чтобы Вы записали, что значение $s$ в точке $(u_0,v_0)$ зависит от $(u_0,v_0)$
Хочу, чтобы вы сосчитали частные производные
$\frac{\partial s}{\partial u_0}, $ $\frac{\partial s}{\partial v_0}, $

и подставили их в формулу полного дифференциала

evgeniy в сообщении #426290 писал(а):

пРичем справедлива формула
$\frac{ds_l}{dv_0}=\sqrt{\lambda[u(v_0),v_0]}(g_{l1}[u(v_0),v_0]\frac{du(v_0)}{dv}+g_{l2}[u(v_0),v_0])$

Докажите. Предварительно определив, что такое $\frac{ds_l}{dv_0}$

-- Вт мар 22, 2011 19:05:30 --

evgeniy в сообщении #426290 писал(а):

Ищется кривая u(v) из минимума функционала, c зафиксированной начальной (0,0) и конечной точки $(u_0,v_0)$

evgeniy в сообщении #424614 писал(а):

Причем, так как имеем кривую линию, подставляя в (3) зависимость u(v), получим зависимость в виде функционала $s_1=s_1[u(v),v], s_2=s_2[u(v),v] $, причем это не просто функция, а функционал, т.е. зависит от пути интегрирования и конечной точке.

И еще. Хочу покончить с этой чепухой про функционал и тп.

Начнем с примера. Пусть имеется функция 2 переменных, $f(x,y)$ От двух, никто не спорит. Пусть теперь выбирается, для каждого $x$, величина $y=y(x)$ как решение некоторой вариационной задачи. И мы берем именно это $y=y(x)$. Вопрос. От скольких переменных теперь зависит $f=f(x, y(x))$? Ответ : от одной. Так как зафиксировав $y(x)$ мы от зависимости от переменной $y$ избавились. Таким образом, лишь мы зафиксировали одны из переменных, функция теряет от нее зависимость.

Теперь к Вашему случаю. Ваша функция $s$ определяется вами как зависящая как-то от
точки $(u_0,v_0)$ и пути $\gamma_{(u_0,v_0)}$, идущего откуда-то в точку $(u_0,v_0)$ . Прекрасно, функционал. Но потом Вы выбираете конкретный путь $\widetilde{\gamma}(u_0,v_0)$ в $(u_0,v_0)$, решая вариационную задачу, или неважно там что еще. И как только Вы сказали, что взяли именно эту кривую для точки $(u_0,v_0)$, то уже зависимость $s$ от этой кривой пропала. Нет ее. Так что $s$ более никакой не функционал, а самая обычная функция переменных $(u_0,v_0)$. Обычная функция, определяемая корявым образом, но ВСЕМ требованиям, входящим в определение функции удовлетворяющая.
Функция. Никакой не функционал. О функционалах хватит. Тем более, функционалы не могут служить новыми переменными, так как в ОПРЕДЕЛЕНИИ замены переменных или коордимат речь идет только и исключительно о функциях.

Так что забудьте о функционалах и нелокальных функциях. Очередное Ваше измышление, проистекающее от безграмотности.

[evgeniy]

Справедлива формула
$s_l=\int_{v=0}^{v_0}f_l[u(v),v]dv\eqno(1)$
где
$f_l[u(v),v]=\sqrt{\lambda[u(v),v]}(g_{l1}[u(v),v]\frac{du(v)}{dv}+g_{l2}[u(v),v])$
Тогда, как это следует из (1), справедливо
$\frac{ds_l}{dv_0}=f_l[u(v_0),v_0]$
Причем величина $s_l$, является функцией только точки $v_0$ и вида кривой u(v), которая входит в функцию $f_l[u(v),v]$.
Я знаю только одно, одно значение $s_l$, определяется видом функции u(v) и координатой v. пРичем на прямую. При разных функциях u(v) и координатах v, получаются разные значения $s_l$, т.е. имеем функционал. Функционал я определяю, как значение переменной, зависящее от функции, причем разным функциям соответствуют разные значения функционала.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #426325 писал(а):

Тогда, как это следует из (1), справедливо
$\frac{ds_l}{dv_0}=f_l[u(v_0),v_0]$

Докажите. как это следует из (1) Во всех деталях. Предварительно определив, что такое $\frac{ds_l}{dv_0}$

-- Вт мар 22, 2011 19:18:46 --

evgeniy в сообщении #426325 писал(а):

Причем величина $s_l$, является функцией только точки $v_0$ и вида кривой u(v),

Докажите!

То есть, от $u_0$ уже не зависит?

Цитата:

evgeniy в сообщении #426290 писал(а):
Ищется кривая u(v) из минимума функционала, c зафиксированной начальной (0,0) и конечной точки $(u_0,v_0)$

то есть кривая от $u_0$ зависит, а потом эта зависимость исчезла.

-- Вт мар 22, 2011 19:35:49 --

evgeniy в сообщении #426325 писал(а):

Я знаю только одно, одно значение $s_l$, определяется видом функции u(v) и координатой v. пРичем на прямую.

Плохо знаете.

evgeniy в сообщении #426325 писал(а):

При разных функциях u(v) и координатах v, получаются разные значения $s_l$, т.е. имеем функционал

evgeniy в сообщении #426290 писал(а):
Ищется кривая u(v) из минимума функционала, c зафиксированной начальной (0,0) и конечной точки $(u_0,v_0)$
То есть это заявление отменяется или нет?

У ВАс альтернатива,
1. $s_l$ -это какой-то функционал. Тогда не имеет отношения к координатам на сфере. Только функция может быть координатой на сфере. Тогда все происходячее - глубокий оффтопик.
2. $s_l$ -это функция. Тогда забудьте о функционалах и доказывайте Ваши утверждения, провозглашенные, но не доказанные выше.

-- Вт мар 22, 2011 19:39:07 --

evgeniy в сообщении #426325 писал(а):

Я знаю только одно,

Вы уже десятки раз заявляли, что что-то знаете, но 'знание' оказьывалось грубо ошибочным. С Вами весь разговор на уровне доказательств.

[evgeniy]

ИМеется зависимость u(v) при произволном v.
Имея интеграл с переменным верхним пределом, по которому дифференцируем, получим подынтегральную функцию
$s_l=\int_{v=0}^{v_0}f_l[u(v),v]dv$
определяется функция $s_l=h(v_0)$, на отрезке изменения v равном $[0,v_0]$,определенная при определенной u(v), и если $u_0=u(v_0)$ другая, например $u_1$, то определяется другая функция $u=u_1(v)$, для которой опять на отрезке $[0,v_0]$, определяется другая функция $u=u_1(v)$. По вашему получается, что производная на отрезке $[0,v_0]$ зависит от координаты $u_0$. Т.е. функционал зависит и от переменной $u_0$. Надо подумать.
Прочтите, что я написал о функционалах в предыдущем посте.
До пятницы, возможно я с Вами соглашусь, но мне надо подумать.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #426356 писал(а):

Прочтите, что я написал о функционалах в предыдущем посте.

Прочтите

shwedka в сообщении #426328 писал(а):

У ВАс альтернатива,
1. $s_l$ -это какой-то функционал. Тогда не имеет отношения к координатам на сфере. Только функция может быть координатой на сфере. Тогда все происходячее - глубокий оффтопик.
2. $s_l$ -это функция. Тогда забудьте о функционалах и доказывайте Ваши утверждения, провозглашенные, но не доказанные выше.

Принимайте решение.

Пока Вы думаете,
Посчитайте ваши новые координатные функции хотя бы для одного простого примера

предлагаю
$du^2+udv^2$
$du^2+u^2dv^2$
или хоть что-нибудь.

-- Вт мар 22, 2011 20:55:40 --

evgeniy в сообщении #426356 писал(а):

Имея интеграл с переменным верхним пределом, по которому дифференцируем,

Это все годится для функции одной переменной. У Вас их две. Так что приводите все рассуждения подробно.

evgeniy в сообщении #426356 писал(а):

$s_l=h(v_0)$

Неверно
$s_l=h( u_0, v_0)$

evgeniy в сообщении #426356 писал(а):

По вашему получается, что производная на отрезке $[0,v_0]$ зависит от координаты $u_0$

И по-вашему
тоже.

shwedka в сообщении #426328 писал(а):

Цитата:

evgeniy в сообщении #426325 писал(а):
Тогда, как это следует из (1), справедливо
$\frac{ds_l}{dv_0}=f_l[u(v_0),v_0]$

Докажите. как это следует из (1) Во всех деталях. Предварительно определив, что такое $\frac{ds_l}{dv_0}$

[evgeniy]

Я сначала думал, что решение (длина дуги) зависит от координаты фиксированной точки, но потом понял, что оно зависит от начальных условий при определении функции u(v) в начале определения длин дуг, что и доказываю двумя способами. В результате вычисления определена величина $s_l,l=1,2$, которая зависит от интеграла от величины $u(\alpha,v) $ , где определена величина $\alpha=\frac{du(0)}{dv}$. Причем величина параметра $\alpha$, постоянна вдоль вычисленной минимизирующей кривой. Т.е. величина $u(\alpha,v) $, это единый функционал, с постоянным $\alpha$.
Это функционал от двух переменных $s_l=s_l(\alpha,v_0) $, при постоянном $v_0$, величина $\alpha$ может меняться, переходя с одной кривой, минимизирующей функционал, на другую. Но квадратичная форма определена при одной кривой, соответствующей одному значению $\alpha$, и при изменении $\alpha$ не получается новая кривая, кривая определена при фиксированном $\alpha$.
Рассматривается функционал, который кривой, определяемой величинами $\alpha,v_0$, и уравнениями поверхности тела, ставит в соответствие точки $s_l,l=1,2$. По моему четкое определение соответствия кривой точке.
Рассмотрим равенство по определению длины дуги
$s_l=\int_{v=0}^{v_0}\sqrt{|\lambda_l[u(\alpha,v),v]|}(g_{l1}[u(\alpha,v),v]\frac{du[u(\alpha,v),v]}{dv}+g_{l2}[u(\alpha,v),v])dv$.
Оно справедливо при условии $v_0$, принадлежащем отрезку $ [0,v_0] $. При этом величина $u_0=u(v_0) $ при изменении $v_0$ меняется. При этом кривая минимума функционала останется неизменной. Т.е. она не зависит от точки $u_0$, вдоль минимизирующей кривой координата u меняется. Скажу более, ее можно продолжать не только назад, но и вперед к следующей точке. Каким образом? Задаем следующую тоску $ (u_1,v_1) $, и строим минимум функционала между точками $ (u_0,v_0),(u_1,v_1) $. Добиваемся, чтобы продолжение минимизирующей функционал кривой и уже построенной кривой в точке $ (u_0,v_0) $ имело непрерывную производную. Таким образом, будет построена кривая, не связанная с определенной точкой.
Докажем это же, но по-другому. Минимум функционала приводит к дифференциальному уравнению второго порядка. Поэтому в начальной точке задается значение функции (0,0), и начальная производная $\alpha=\frac{du(v)}{dv}|_{v=0}$. Далее кривая, минимизирующая функционал определится в зависимости от значения u(v), т.е. не будет зависеть от точек $u_0$.
При этом метрический интервал вдоль кривой равен (он определяется только вдоль кривой, т.к. зависит от пути интегрирования, иначе метрический интервал смысла не имеет, а кривая определяется одним значением $\alpha$)
$dK[u(\alpha,v),v]=\sum_{l=1}^{2}\lambda_l[u(\alpha,v),v](g_{l1}[u(\alpha,v),v]\frac{du[u(\alpha,v),v]}{dv}+g_{l2}([u(\alpha,v),v]]dv^2$
Построении кривой на сфере, это отдельный разговор.

[shwedka]

shwedka в сообщении #426373 писал(а):

Прочтите
shwedka в сообщении #426328 писал(а):
У ВАс альтернатива,
1. $s_l$ -это какой-то функционал. Тогда не имеет отношения к координатам на сфере. Только функция может быть координатой на сфере. Тогда все происходячее - глубокий оффтопик.
2. $s_l$ -это функция. Тогда забудьте о функционалах и доказывайте Ваши утверждения, провозглашенные, но не доказанные выше.


Принимайте решение.

Пока Вы думаете,
Посчитайте ваши новые координатные функции хотя бы для одного простого примера

предлагаю
$du^2+udv^2$
$du^2+u^2dv^2$
или хоть что-нибудь.

[evgeniy]

Мне очень интересно построить кривую для сферы. Для этого необходимо перейти к симметричным координатам, описывающую поверхность сферы, связанным с декартовыми координатами формулой $\psi_l=arg(x_3+ix_l)$ (если определять угол как величину $\psi_l=\arctan\frac{x_l}{x_3}$ то угол определяется однозначно только на отрезке $[0,\pi]$). эти углы являются продолжаемыми в отличии от сферической системы координат, которую не продолжишь непрерывным образом за значения $[0,\pi]$. Эти углы при $\psi_l=\pi/2$ определяют координаты по правилу Лопиталя, так как определяются по формулам, и тангенс при этих значениях равен бесконечности
$x_1=Rsin\psi_1/\sqrt{1+cos^2 \psi_1 tan^2\psi_2}$
$x_2=Rsin\psi_2/\sqrt{1+cos^2 \psi_2 tan^2 \psi_1}$
$x_3=Rcos\psi_1/\sqrt{1+cos^2 \psi_1 tan^2 \psi_2}= = Rcos\psi_2/\sqrt{1+cos^2 \psi_2 tan^2 \psi_1}$
координата $x_3$ определяется по любой из приведенных формул, они тождественны, как по значению, так и по знаку.
Хочется получить явный вид зависимости $s_l[\psi_1(\alpha,\psi_2),\psi_2]$ и возможно проинтегрировать его. Обращая внимание, что величины, $\frac{d\psi_1(0)}{d\psi_2}$, это константа интегрирования и определяет минимизирующую кривую, и на минимизируещей кривой является константой.
Найдем метрический тензор на поверхности сферы, т.е. при условии определим величины
$A(\psi_1,\psi_2)=\sum_{l=1}^3(\frac{\partial x_l}{\partial \psi_1})^2$
$B(\psi_1,\psi_2)=\sum_{l=1}^3\frac{\partial x_l}{\partial \psi_1}\frac{\partial x_l}{\partial \psi_2}$
$C(\psi_1,\psi_2)=\sum_{l=1}^3(\frac{\partial x_l}{\partial \psi_2})^2$
Найдем собственное число из формулы
$\lambda^2-2\alpha\lambda+\beta=0,\alpha=(A+C)/2,\beta=AC-B^2$
$\lambda_l=\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\beta}=(A+C)/2 \pm \sqrt{B^2+(A-C)^2/4}$
Величина $\lambda_1$ соответствует квадратному корню со знаком плюс, а величина $\lambda_2$, квадратному корню со знаком минус. Для определения собственных векторов имеем уравнение
$ (A-\lambda_l)g_{l1}+Bg_{l2)=0$
Откуда имеем
$g_{l2}=A-\lambda_l=(A-C)/2 \mp \sqrt{(A-C)^2/4+B^2}$
$g_{l1}=-B$
Откуда для длины дуги имеем уравнение
$s_l=\int_{v=0}^{v_0}\sqrt{|(A+C)/2 \pm \sqrt{(A-C)^2/4+B^2}|}(-B\frac{d\psi_1(\psi_2)}{d\psi_2}+(A-C)/2 \mp \sqrt{(A-C)^2/4+B^2})d\psi_2$
При этом минимизируем функционал
$min \int_{v=0}^{v_0}[(|(A+C)/2 \pm \sqrt{(A-C)^2/4+B^2}|)(-B\frac{d\psi_1(\psi_2)}{d\psi_2}+(A-C)/2 \mp \sqrt{(A-C)^2/4+B^2})^2+(|(A+C)/2 \mp \sqrt{(A-C)^2/4+B^2}|)(-B\frac{d\psi_1(\psi_2)}{d\psi_2}+(A-C)/2 \pm \sqrt{(A-C)^2/4+B^2})^2]^{0.5}d\psi_2=L(\psi_1,\psi_2,\frac{d\psi_1(psi_2)}{d\psi_2})d\psi_2$
При этом имеем условие минимума в виде уравнений Лагранжа
$\frac{\partial L}{\partial \psi_2}-d\frac{\partial L}{\partial d\psi_1(\psi_2)/d\psi_2}/d\psi_2=0$
получим дифференциальное уравнение
$\frac{d^2 \psi_1}{d\psi_2^2}=F[ d\psi_1}{d\psi_2},\psi_1,\psi_2)] $
При этом необходимо задавать начальные условия на функцию и производную в начальной точке $(0,0),(0,d\psi_1(0)/d\psi_2) $.
Обозначим $\alpha=d\psi_1(0)/d\psi_2) $
Длины дуг $s_l$ зависят от координаты $\psi_2$ и от функции $\psi_1(\alpha,\psi_2)$. Начальные условия не полностью определяют вид функции кривой $\psi_1(\alpha,\psi_2)$ , а функцию, описывающую кривую, определяет уравнение поверхности.
Отметим, что если ввести параметризацию $\psi_1=\psi_1(t), \psi_2=\psi_2(t)$, то углы дуг будут зависеть от двух кривых $\psi_1=\psi_1(t), \psi_2=\psi_2(t)$ и начальные связанные условия надо определять для двух кривых.

[shwedka]

Любое обсуждение контрпродуктивно, пока Вы не определитесь.

shwedka в сообщении #427402 писал(а):

shwedka в сообщении #426373 писал(а):

Прочтите
shwedka в сообщении #426328 писал(а):
У ВАс альтернатива,
1. $s_l$ -это какой-то функционал. Тогда не имеет отношения к координатам на сфере. Только функция может быть координатой на сфере. Тогда все происходячее - глубокий оффтопик.
2. $s_l$ -это функция. Тогда забудьте о функционалах и доказывайте Ваши утверждения, провозглашенные, но не доказанные выше.


Принимайте решение.

Пока Вы думаете,
Посчитайте ваши новые координатные функции хотя бы для одного простого примера

предлагаю
$du^2+udv^2$
$du^2+u^2dv^2$
или хоть что-нибудь.

[evgeniy]

То, что координаты поверхности можно задавать с помощью интеграла от функции, определенной по начальной точке и тангенсом наклона и уравнением поверхности, т.е. являются функционалом, это не оффтопик. А с примером мне надо подумать.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #427415 писал(а):

То, что координаты поверхности можно задавать с помощью интеграла от функции, определенной по начальной точке и тангенсом наклона и уравнением поверхности, т.е. являются функционалом, это не оффтопик.

Kоординаты должны быть ФУНКЦИЯМИ двух переменных и более ничего. Как эти функции вычисляются, с помощью интегрирования вдоль пути или минимизации фунционала или еще чего-- это вторично. Важно, чтобы Вы признали, что координаты это функции.