2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 разложение косинуса в ряд фурье по косинусам...
Сообщение22.03.2011, 19:38 


11/04/08
632
Марс
Видимо, я что-то не правильно делаю...
Пусть есть функция $f(x)=cos^3( \frac{\pi}{2} x)$
Надо разложить ее в ряд по $ cos( \frac{\pi}{2} x) $ на отрезке [0,2]:
$f(x)=a_0/2+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k cos(k \frac{\pi}{2} x)$.
Тогда коэффициенты
$a_k= \int\limits_0^2  cos^3( \frac{\pi}{2} x) cos(k \frac{\pi}{2} x) dx =0 $ (!), k=0,1,2,...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2011, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну? Радоваться надо: из бесконечного множества коэффициентов почти все определены верно.

-- Вт, 2011-03-22, 20:55 --

Как это получилось-то, кстати?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2011, 20:01 


11/04/08
632
Марс
ИСН в сообщении #426285 писал(а):
Как это получилось-то, кстати?

да что б я знал... Вот, загоняем в Математику (хотя и в ручную тоже считал):
Код:
Integrate[Cos[x*Pi/2]^3*Cos[k*x*Pi/2], {x, 0, 2}]

Получаем что-то, умноженное на $ sin[k\pi] $. И если мне не изменяет память, то для всех целых k: $ sin[k\pi]=0 $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2011, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9994
Москва
Подставляем в Ваше выражение k=1, получаем косинус в четвёртой, интегрируем... И как интеграл неотрицательной функции, не равной тождественно нулю, оказался нулевым?

(Оффтоп)

- Господа гусары, как же я оказался вообще без взяток при восьми козырях?
- Расклад, батюшка, расклад!

Так, напомнить...
http://www.pm298.ru/trigon6.php

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2011, 20:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Надо сказать, довольно-таки странная задача. Чтобы сосчитать эти интегралы, требуется понизить степень, т.е. воспользоваться формулой для тройного угла: $\cos3t=4\cos^3t-3\cos t$. Другими словами, для этого надо найти разложение куба косинуса по косинусам кратных углов. А потом, когда такое разложение будет найдено -- можно это разложение наконец и найти!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2011, 21:13 


11/04/08
632
Марс
Евгений Машеров в сообщении #426292 писал(а):
И как интеграл неотрицательной функции, не равной тождественно нулю, оказался нулевым?

Понятия не имею )
Да я понимаю, что всё это довольно странно, но что здесь поделаешь? По крайней мере, стало понятно, что дело в интегралах, а не в рядах.
По 3-ю степень можно забыть. Для простоты можно взять функцию $f(x)=cos x $ на [0,pi] и ряд
$f(x)=a_0/2+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k cos (kx)$
с коэффициентами
$a_k= \int\limits_0^{\pi}  cosx \cdot cos(k x) dx =0 $, k=0,1,2,...,
Математика дает: $a_k = -k \cdot sin(k \pi)/(k^2-1)$
и ручные выкладки это подтверждают...

-- Вт мар 22, 2011 22:30:10 --

Кстати, при k=1 здесь получается неопределенность...

-- Вт мар 22, 2011 22:32:00 --

Так я чего-то не понял. Тригонометрические функции что ли вообще нельзя в ряды Фурье раскладывать?...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2011, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2011, 21:41 


11/04/08
632
Марс
это что какой-то узкопрофильный юмор?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2011, 22:10 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
$a_k= \int\limits_0^{\pi} \cos x \cos kx dx$, $k \in \mathbb N_0$.

Чему равно $a_1$? $a_1 = \int\limits_0^{\pi} \cos x \cos x dx = \int\limits_0^{\pi} \cos^2 x dx = ?$

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение22.03.2011, 22:54 


11/04/08
632
Марс
Ладно, кажется понял, где возникает ошибка... При вычислении этой штуки
$a_k= \int\limits_0^{\pi} \cos x \cos kx dx$, $k \in \mathbb N_0$
я умножал на $ 1/(k-1) $. Значит здесь происходит разветвление вычислений по двум путям: что с k=1 и что с $k \neq 1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2011, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9994
Москва
Давайте начнём с более простой задачи. Разложим в ряд Фурье просто косинус, безо всяких кубов. Сколько там будет ненулевых коэффициентов?
Подсказка: если Вы выпишите выражение для коэффициентов и начнёте его интегрировать, это хорошо охарактеризует Ваше прилежание и плохо - понимание.
А вторым темпом выразим куб косинуса через косинусы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2011, 22:46 


11/04/08
632
Марс
Всё нормуль, я уже понял, в чем там был подвох.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2011, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да? Можете быстро разложить $\sin3x$ в ряд по синусам?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2011, 23:27 


11/04/08
632
Марс
разложить вряд ли, но коэффициенты выписать могу быстро.
В той задаче мне нужны были только коэффициенты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2011, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Понял один такой, ога...

-- Чт, 2011-03-24, 00:32 --

Нет, ну ладно, и какие же будут коэффициенты?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group