ТФКП. Восстановление действительной части функции.

[Chipa]

Здравствуйте! Нужна помощь в решении одной задачи.

Восстановить действительную часть функции, если известна ее мнимая часть.
$e^x(y\cos y - x\sin y)$
Функция аналитическая в окрестности нуля и $f(0)=0

Просьба немного нестандартная - прислать решение (пусть не открыто, а в личное сообщение), а если это никак нельзя, то хотя бы сказать, есть ли оно и как примерно выглядит.

Дело в том, что принципиальных затруднений с задачей нет - таких мы решали много, как решать - знаю, и вроде решение мое правильное, да только проверка показывает, что оно не годится. Скорее всего, либо я просто в арифметике напутала, либо в условии опечатка (у нас это обычное дело).

Самостоятельные попытки решения - были. Сначала я попробовала "стандартный" путь:
1)Нашла частные производные от мнимой части
$\frac{\partial v}{\partial x}$ и $\frac{\partial v}{\partial y}$
2)Используя условия Коши-Римана, нашла $\frac{\partial u}{\partial x}$
3)Проинтегрировала результат п.2 по x, получила выражение для u с константой, зависящей от y.
4)Продифференцировала результат п.3 по y
5)Использовала второе из условий Коши-Римана, приравняв $\frac{\partial u}{\partial y}$ и $-\frac{\partial v}{\partial x}$
6)Нашла постоянную C(y) и подставила в выражение для u
Но полученный ответ условиям Коши-Римана не удовлетворяет.

Дальше попробовала сделать подстановку $x = \frac{z}{2}$ и $y = \frac{z}{2i}$
Толку - ноль (вообще глупость выходит).

Нашла в задачнике похожую задачу с ответом - там условие отличалось знаком
$e^x(y\cos y + x\sin y)$
Пробовала решать - решила, и интегрированием, и подстановкой. Все получилось.
Может, правда опечатка в условии, или задача для случая со знаком "-" тоже решается?

[Vince Diesel]

Со знаком минус не решается, поскольку это не гармоническая функция.

[Chipa]

Спасибо. Значит, все-таки опечатка.

Только нельзя ли чуть подробнее? Чтобы понять, гармоническая функция или нет, нам ведь надо знать ее обе части? Или я что-то путаю, и можно сказать "не гармоническая" по одной мнимой части?

[ИСН]

Ну Вы пробовали восстановить другую часть? Получилось? Нет? Вот это и значит, что та часть была негодная.

[Ales]

Chipa в сообщении #426347 писал(а):

Спасибо. Значит, все-таки опечатка.

Только нельзя ли чуть подробнее? Чтобы понять, гармоническая функция или нет, нам ведь надо знать ее обе части? Или я что-то путаю, и можно сказать "не гармоническая" по одной мнимой части?

По определению $f(x,y)$ - гармоническая, если $\frac {\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)+\frac {\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)=0$.
Условия Коши-Римана требуют одновременную гармоничность комплексной и вещественной части.
Если мнимая часть не гармоническая, то функция не аналитическая.

[Chipa]

Цитата:

Ну Вы пробовали восстановить другую часть? Получилось? Нет? Вот это и значит, что та часть была негодная.

Ну, обычно, если у меня что-то не получилось, то это значит что у меня голова негодная) к математике) и надо сидеть и упорно искать ошибки.
Но иногда (редко) бывает и задача негодная)

Всем спасибо. Раз все так очевидно, думаю смогу доказать свою правоту (преподаватель - странный человек).