линейный оператор в разных базисах

[tavrik]

решение в книге есть но никак не могу понять "почему оно так работает" :)
несколько раз возвращался но бесполезно, ступор
это даже не задача а так, полупример в самом начале книги где описываются пространства и скалярные произведения.
если можно, подскажите.

задан базис B: {(1,1), (-1,0)} и оператор T (линейный).
в заданном базисе оператор определяется матрицей:

0, 0
1,-1

является ли данный оператор самосопряженным?

Решение:
в ортонормированном базисе самосопряженный оператор будет задаваться симметричной/эрмитовой матрицей. но переход в ортонормированный базис(стандартный для $R_2$) запутал.

В частности, почему:
T(1,1) = (1,0)
T(-1,0) = (-1,0)

[svv]

Сначала подтвердите, что у Вас где-то ошибка. Дело в том, что
если в ортонормированном базисе задан новый базис $\mathbf{b}_1 = \left[ \begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array} \right]$, $\mathbf{b}_2 = \left[ \begin{array}{c}-1 \\ 0 \end{array} \right]$,
и в новом базисе $\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2\}$ оператор $\mathbf{T}$ имеет матрицу $\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array} \right]$,
то в ортонормированном базисе $\mathbf T \left[ \begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}-1 \\ 0 \end{array} \right]$, $\mathbf T \left[ \begin{array}{c}-1 \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array} \right]$,
а у Вас наоборот.
Пожалуйста, проверьте всё, что Вы написали.

[ewert]

Собственные числа оператора (они не зависят от базиса) -- это, очевидно, $\lambda_1=-1$ и $\lambda_2=0$. Ищем соответствующие собственные векторы в виде $\vec v_{1,2}=x\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$, т.е. $x,y$ -- координаты собственного вектора в зданном базисе.

Для $\lambda_1=-1$ это означает, что надо решать систему $\begin{cases}1x+0y=0,\\1x+0y=0.\end{cases}$ Решение единственно (с точностью до постоянного множителя): $x=0,\ y=-1$. Соответственно, собственный вектор в каноническом базисе: $\vec v_{1}=0\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.

Для $\lambda_2=0$ система: $\begin{cases}0x+0y=0,\\1x-1y=0;\end{cases}$ решение: $x=1,\ y=1$. собственный вектор: $\vec v_{2}=1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$.

Собственный базис оказался каноническим. Т.е. матрица оператора в каноническом базисе диагональна: $\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}$ -- и, значит, оператор самосопряжён.

Хотя вообще-то надо было, конечно, просто тупо восстановить матрицу в каноническом базисе по стандартным правилам.