Помогите найти ошибку

[DmitriB]

$$ \int_{V}^{} \nabla \cdot F dV $$

$$\textbf{F} = 2xzi + yzj + z^2k $$

$$x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \ \ \ \ z=>0 $$

$$\nabla \cdot \textbf{F} = 5z $$

$$\Rightarrow 5 \int_{V}^{} zdV $$

$$dV = p^2 \sin udpdudv $$

$$z = p \cos u $$

$$\Tightarrow 5 \int_{V}^{} p^3 \cos u \sin udpdudv = 5\int_{0}^{2\pi}dv\int_{0}^{\pi}\cos u \sin udu\int_{0}^{a}p^3dp $$

$$=\frac{5}{2} \pi a^4$$

Ответ

$$=\frac{5}{4} \pi a^4$$

, в чем ошибка?
P.S. Почему \textbf и \nabla не хотят вместе работать? \textbf{\nabla}

[bot]

На бегу:
У Вас две ошибки.
1) Вы интегрируете по шару, а надо только по верхней его половине.
2) В случае интегрирования по всему шару ответ должен получиться не вдвое больше, а нуль.

[ИСН]

Пробелывформулахставьтеблинчитатьженевозможно.

[Someone]

ИСН писал(а):

Пробелывформулахставьтеблинчитатьженевозможно.

Там дело не в пробелах. Синус и косинус кодируются как \sin u и \cos u (с пробелом после обозначения функции). Тогда всё будет хорошо: $\cos u\sin udu$

[DmitriB]

Отредактировал, так лучше?

bot писал(а):

На бегу:
У Вас две ошибки.
1) Вы интегрируете по шару, а надо только по верхней его половине.
2) В случае интегрирования по всему шару ответ должен получиться не вдвое больше, а нуль.

Спасибо за ответ, точно надо было 0 \rightarrow \frac{\pi}{2} интегрировать. По поводу второго пункта, можете пояснить почему если интегрировать по всей сфере ответ должен быть ноль?

[bot]

Не по сфере, а по шару. Если бы тоже самое было с поверхностным интегралом по сфере, тоже ноль бы получился.
А ноль, потому что область интегрирования симметрична относительно плоскости z=0 и функция под интегралом нечётна по z.
Это и у Вас видно - в интеграле, который в середине, у Вас должно получиться $-\frac{1}{4}\cos 2u$ в пределах от $u=0$ до $u=\pi$, что и даст этот заранее ясный ноль. Замена $\pi$ на $\frac{\pi}{2}$ в верхнем пределе интегрирования даст верный результат.

Маленькое замечание. А стоило ли вообще здесь переходить к сферическим координатам? Если сразу через повторные, не гораздо ли проще получится?