теория множеств

[Evgeni2011]

Пожалуста помогите мне со следующим вопросом.
Началом множества M назовем подмножество A, которое содержит все предыдущие элементы каждого своего элемента. Отрезком множества М назовем множество М_z которое состоит из элементов множества М меньших z. Цепь - множество, любые два элемента которого сравнимы. Множество называется вполне упорядоченным, если каждое его подмножество имеет первый элемент. Замкнутым называется множество в котором каждая цепь имеет наименьшую верхнюю грань.
Пусть теперь М замкнутое множество. Пусть f отображение множества M в себя такое, что для всех x из М f(x)>=x. Если К подмножество М, K - цепь, К вполне упорядочено и для кажого y из K выполнено y=f(g(K_y)), где g(K_y) - наименьшая верхняя грань отрезка K_y (которая существует т.к. K_y - цепь в М), тогда K назовем fg цепью. Задача: как доказать что всякое начало fg цепи есть fg цепь?

[svv]

А что такое "предыдущие элементы"? У Вас множество $M$ -- частично упорядоченное?

[Evgeni2011]

Да, М частично упорядоченное множество.

[Evgeni2011]

А предыдущий означает меньший

[Someone]

Любой меньший?
Кстати, а нельзя ли вместо безликого $g(K_y)$ использовать общепринятое $\sup K_y$? Или я чего-то не понял, и это не одно и то же?

[svv]

Вы сформулировали 4 условия того, что множество $K$ является $fg$-цепью:
1) $K$ -- подмножество $M$,
2) $K$ -- цепь,
3) $K$ вполне упорядочено,
4) для каждого $y$ из $K$ выполнено $y=f(g(K_y))$.

Пусть эти условия выполнены для $K$, и $A$ -- начало $K$.
Чтобы доказать, что $A$ также является $fg$-цепью, надо проверить, что эти условия выполнены и для $A$.
Прежде всего: $A$ -- подмножество $K$, так как $A$ -- начало $K$ (см. определение начала).
1) $A$ -- подмножество $K$, $K$ -- подмножество $M$ $\Rightarrow$ $A$ -- подмножество $M$.
2) $A$ -- подмножество $K$, любые два элемента $K$ сравнимы $\Rightarrow$ любые два элемента $A$ сравнимы $\Rightarrow$ $A$ -- цепь.
3) $A$ -- подмножество $K$, любое подмножество $K$ имеет первый элемент $\Rightarrow$ любое подмножество $A$ имеет первый элемент $\Rightarrow$ $A$ вполне упорядочено.
4) Остается доказать, что для кажого $y$ из $A$ выполнено $y=f(g(A_y))$ (ясно, что $g(A_y)$ существует, так как $A_y$ -- цепь в замкнутом множестве $M$).

Доказательство пункта 4 оставляю автору темы.

[Evgeni2011]

Спасибо, но как раз четвертый пункт я и не смог доказать.

[ABViktor]

Прошло много времени, но, быть может, кому-нибудь будет интересно.

Сначала нужно показать, что любое начало вполне упорядоченного множества $K$ либо совпадает с $K$, либо является его отрезком $K_y$.

Пусть теперь $K$ -- fg-цепь в $M$.
$K$ есть вполне упорядоченное подмножество в $M$.
Получается, что начало fg-цепи $K$ либо совпадает с $K$, либо является его отрезком $K_y$.

Для каждого элемента $s$ fg-цепи $K$ выполнено $s=f(g(K_s))$.

Для любого отрезка $(K_y)_s$ цепи $K_y$ выполнено $(K_y)_s=K_s$.

$s=fg(K_s)=fg\big((K_y)_s\big).$