Функция Грина для равностороннего треугольника

[GreyFist]

Здравствуйте. Кто-нибудь знает, как выглядит функция Грина оператора Лапласа на плоскости для равностороннего треугольника с вершинами в точках: $(-a/2, 0), (a/2, 0), (0, \frac{\sqrt{3}a}{2})$? Как её можно найти?

[Padawan]

Переносом функции Грина с круга в треугольник конформным отображением. Конформное отображение круга $|\zeta|<1$ на правильный треугольник с центром $z=0$ и вершиной $z=a$ задается функцией

$$f(\zeta)=C\int_0^\zeta\frac{d\zeta}{(1-\zeta^3)^{2/3}} \ \ ,$$

где $C$ находится из условия $f(1)=a$.
Для построения функции Грина потребуется функция, обратная к $f$.

[GreyFist]

Спасибо, но как я понимаю, этот интеграл не выражается через композицию элементарных функций и найти обратную функцию к нему в явном виде нельзя. Или это не так? А мне хотелось бы получить явную формулу.

[Padawan]

В элементарных функциях не выразить, раз уж интеграл не выражается. В эллиптических функциях попробуйте.