Счётно ли множество всех единиц?

[antukk]

Собственно, вопрос возник из того, что одна единица из множества всех единиц входит в тот натуральный ряд, во взаимно-однозначное соответствие с которым становится множество всех единиц.
И наоборот: входит единица натурального ряда, во взаимно-однозначное соответствие с которым становится множество всех единиц, во множество всех единиц?
Сам доказать не смог.
Может кто подскажет в чем мои затруднения.
Заранее благодарен.

[maxmatem]

antukk
......... Вы сами поняли, что написали ????Если вам не трудно, поясните а каком множестве единиц идёт речь.

[antukk]

Уважаемый maxmatem!
Пусть задано множество A:
A = {a ∈ A | P(a)},
где a - все натуральные числа 1 ("один", "единица").
Установим взаимно-однозначное соответствие между каждым элементом множества A и каждым членом множества натуральных чисел N.
Вопрос: Если элементом множества A являются каждое (всякое) натуральное число 1 ("один", "единица"), содержит ли второе множество N натуральное число 1 ("один", "единица"), коль скоро при создании множества A были использованы все натуральные числа 1 ("один", "единица")?
Мне представляется, возможно, вполне ошибочно что если не содержит, то взаимно-однозначное соответствие установлено между неполным множеством натуральных чисел, точнее, множеством натуральных чисел N без первого по счёту элемента. В таком случае, определение счётного множества в множеству A не применимо. Если же множество N является полным и содержит натуральное число 1 ("один", "единица"), то не удалось создать множество A.
Ещё раз повторяю, что не могу преодолеть это противоречие, потому и обратился за советом.

[shwedka]

Меня тоже эта проблема постоянно мучает. Даже спать не дает.

Вот, допустим, хотим мы сосчитать $1\times 1$. По-честному.
Берем единицу, вставляем в аппарат для умножения, , где есть две входных дырки, и хотим
единицу во вторую входную дырку вставить. И не получается. Потому, что единица уже занята, и другой единицы нет. Так что умножить не получается.

И сложить не получается, если понимать сложение как машинку с двумя входами и одним выходом. В оба входа нужно по единичке вставить, а единица,
по ортоксальной математике только одна.

[antukk]

Более непонятное получается, если, допустим, поступить следующим образом.
1, 2, 3, 4, 5, ... – сравнивающее N множество натуральных чисел.
↕ ↕ ↕ ↕ ↕
1, 1, 1, 1, 1, ... – сравниваемое множество A всех натуральных чисел 1 ("один", "единица").
Продолжим теперь вниз после каждой единицы второго ряда натуральный ряд:
1, 2, 3, 4, 5, ... – сравнивающее множество натуральных чисел.
↕ ↕ ↕ ↕ ↕
1, 1, 1, 1, 1, ...
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
... ... ... ... ...

То есть вместо множества A всех единиц, получили множество L всех множеств натуральных чисел. И тот же самый вопрос: входит ли в сравниваемое множество L всех множеств натуральных чисел сравнивающее множество N&
Дело в том, что мне, ИМХО, кажется, что в данном случае мы попали на парадокс Рассела.

[shwedka]

antukk в сообщении #424608 писал(а):

То есть вместо множества A всех единиц

Да какое там множество всех единиц!!!
гады-математики говорят, что единица одна-единственная,
а ее для простейшей арифметики не хватает!

[antukk]

Насколько мне не изменяет память, то доказывается единственность только нуля и только пустого множества. По поводу единственности единицы упоминаний находить не приходилось. Не могли Вы подсказать, где об этом можно узнать? Поэтому, собственно, и веду разговор о единицах. Впрочем, аксиомы Пеано изначально включали в себя в качестве первого числа нуль, а не единицу. Впоследствии почему-то все авторы ссылались на это обстоятельства, но с оговоркой, что нет разницы с чего начинать аксиомы Пеано — то ли с нуля, то ли с единицы (например, В.И. Арнольд, Дж. Гильберт и практически все писавшие после них, К.М. Подниекс, В.А. Успенский и так далее).

[shwedka]

antukk в сообщении #424651 писал(а):

то доказывается единственность только нуля

Тоже плохо. Нельзя ноль на ноль умножить. даже умножить сначала ноль на другое число, чтобы получить второй ноль не годится. Ведь при первом умножении исходный ноль израсходовался, и мы опять остаемся с одним нулем.

Что-то не так. Нужно, чтобы нулей был большой запас .

[antukk]

С единственностью нуля, ИМХО, кажется обстоит всё же несколько получше. Его больше одного в сущности и надо :).
Вообще-то меня интересует несколько другой вопрос, выделенный в эту ветку. Не о единственных единицах и нулях, а о счётности бесконечного множества единиц — как минимум :)

[Someone]

antukk в сообщении #424651 писал(а):

Насколько мне не изменяет память, то доказывается единственность только нуля и только пустого множества. По поводу единственности единицы упоминаний находить не приходилось.

Дык, худая у Вас память. Единственность единицы тоже доказывается. Вот смотрите.
Пусть у нас есть две единицы: $1_a$ и $1_b$. Перемножим их: $1_a\cdot 1_b$.
Поскольку $1_a$ - единица, по мультипликативному свойству единицы $1_a\cdot 1_b=1_b$.
С другой стороны, $1_b$ - тоже единица, и точно так же $1_a\cdot 1_b=1_a$.
Так как у арифметической операции может быть только один результат, получаем $1_a=1_b$.

Ну а дальше уже нетрудно доказать единственность двойки, тройки и так далее.

Для множеств - тоже. Допустим, единственность пустого множества мы доказали. Докажем, например, что множество $\{\varnothing\}$ тоже единственно.
Предположим, что имеются два таких множества: $\{\varnothing\}_a$ и $\{\varnothing\}_b$. Непосредственно видно, что эти множества имеют одни и те же элементы (у каждого - только один элемент $\varnothing$). Поэтому $\{\varnothing\}_a=\{\varnothing\}_b$ по определению равенства множеств.

[antukk]

Никто и не спорит о своей худой памяти. Единственность нуля и пустого множества доказывается задолго до появления операций сложения (умножения) или объединения. Даже появилось такое утверждение: единственность пустого множества не противоречит бесконечности его определений :).
Хотя, если допустить, как это предлагает В.А. Успенский, уникальность натурального ряда, то теряется смысл любого разговора даже об арифметических объектах. Уж коль скоро каждый член этого ряда уникален и его больше одного раза использовать нельзя.
Мне всё же, извините, более интересен мой вопрос. Даже несмотря на то, что из предложенной Вами единственности единицы вытекает, что создать бесконечно множество единиц не получается. Я понимаю, что это частный случай общего подхода к счётным множествам, но если не срабатывает в одном случае, то насколько справедливы утверждения относительно других?
Парадокс Рассела возник из-за множества всех множеств. То же ведь частный случай :)
Я не могу найти ошибку в начальных условиях своего вопроса. А использовать методы преодоления парадокса Рассела посредством применения аксиоматики ZF или ZFC тоже у меня получается.
Поэтому и обратился за помощью.

[Someone]

antukk в сообщении #424683 писал(а):

Хотя, если допустить, как это предлагает В.А. Успенский, уникальность натурального ряда, то теряется смысл любого разговора даже об арифметических объектах.

Это не математика, а околоматематическая псевдофилософия (при всём моём уважении к Успенскому).

antukk в сообщении #424683 писал(а):

Уж коль скоро каждый член этого ряда уникален и его больше одного раза использовать нельзя.

Дык, компьютеры как-то с этой проблемой справляются: если некое число записано в ячейке A, то для сложения этого числа с самим собой тоже нужны два обращения к ячейке A. И никаких проблем не возникает, хотя ячейка эта имеется в единственном экземпляре. Откуда Вы вообще взяли это странное условие - "больше одного раза использовать нельзя"?

antukk в сообщении #424683 писал(а):

из предложенной Вами единственности единицы

Ничего я тут не предлагаю. Это свойство доказывается в алгебре одним из первых, как только вводится понятие единицы в алгебраической системе (достаточно группоида).

antukk в сообщении #424683 писал(а):

Парадокс Рассела возник из-за множества всех множеств.

Боюсь, Вы с этим "множеством всех единиц" тоже налетите на множество всех множеств.

antukk в сообщении #424683 писал(а):

Я не могу найти ошибку в начальных условиях своего вопроса.

По-моему, никто Вашего вопроса всерьёз не понял. Я тоже плохо понимаю Вашу проблему.