Сферическая система координат

[evgeniy]

Произвольную квадратичную форму на поверхности тела можно представить в виде
$A(u,v)du^2+B(u,v)dudv+C(u,v)dv^2=\pm ds_1^2+ \pm ds_2^2\eqno(1) $
Где квадратичная форма приведенна к диагональному виду и имеем
$ds_l=\sqrt{|\lambda_l|}(g_{l1}du+g_{l2}dv)\eqno(2) $
ПРичем эта формула справедлива вдоль любой кривой на поверхности тела. Причем величина $s_l$ зависит от пути интегрирования в формуле (2). Отмечу, что и начальная квадратичная форма в переменных (u,v), тоже зависит от пути интегрирования. Начальная и приведенная квадратичные формы равны.
Определим величину $s_l$ из равенств
$s_1=\int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_1|}(g_{11}\frac{du(v)}{dv}+g_{12})dv$
$s_2=\int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_1|}(g_{21}\frac{du(v)}{dv}+g_{22})dv\eqno(3) $
вдоль кривой, определяющей минимум функционала (4) при фиксированной начальной и конечной точке
$min \int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_1|(g_{11}\frac{du(v)}{dv}+g_{12})^2+ |\lambda_2|(g_{21}\frac{du(v)}{dv}+g_{22})^2}dv\eqno(4) $
Т.е. выбирается кривая, вдоль которой и определяются длины дуг при фиксированной начальной и конечной точке. Причем, так как имеем кривую линию, подставляя в (3) зависимость u(v), получим зависимость в виде функционала $s_1=s_1[u(v),v], s_2=s_2[u(v),v] $, причем это не просто функция, а функционал, т.е. зависит от пути интегрирования и конечной точке. Почему я говорю функционал, потому что точке $s_1,s_2$ поставлено соответствие кривая и точка на ней. Такое определение длин дуг позволит определить на поверхности тела сетку из ортогональных длин дуг $s_l,l=1,2$ и определить квадратичную форму (1). Длины дуг ортогональны в силу вида квадратичной формы и их значения являются функционалом от кривой, соединяющей точки $ (u,v),(0,0) $.
Интегралы (3) получены из формул (2), причем интегралы (3) берутся вдоль кривой линии, т.е. из формул (2) следует формула (3). Следует ли из формул (3) формула (2) вдоль кривой линии? Вдоль кривой линии интегралы (3), это функция одной переменной, с переменным верхним пределом, равным v, значит из формул (3) следует (2), т.е. они тождественны.
При этом определенная с помощью функционала квадратичная форма (1) вдоль произвольной кривой имеет вид
$ds_1^2+ds_2^2=\alpha du^2+\beta du dv+ \gamma dv^2\eqno(5) $
Причем знак у длин дуг может быть и отрицателен, а может и меняться. Ведь начальная квадратичная форма (1) положительно определена только у выпуклой поверхности.
В силу тождественности (2) и (3) вдоль кривых линий, причем (2) можно рассматривать только вдоль кривой линии, имеем совпадение коэффициентов $A(u,v)=\alpha, B(u.v)=\beta,C(u,v)=\gamma$.
Для сферической системы координат имеем формулы
$s_1=R\theta\eqno(6) $
$s_2=R\int_{\varphi=0}^{\varphi}|\sin\theta(\varphi)|d\varphi\eqno(7) $
Произведем оцифровку поверхности сферы, направив длины дуг кривых по изменению углов сферической системы координат, при фиксированных значениях не изменяемых углов, получим
$s_1=R\varphi\eqno(8) $
$s_2=R|\sin\theta| \varphi\eqno(9) $
Но эти формулы оцифровки справедливы при $\theta=const$ , что соответствует минимуму интеграла (4).
При этом решение уравнения Лапласа угловая часть определяется в виде ряда Фурье и интеграла Фурье. То что используется интеграл Фурье, а не полином, как это следует из теоремы, кажется Лиувилля, я еще не доказал, но у меня есть соображения на этот счет.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424614 писал(а):

Произвольную квадратичную форму на поверхности тела можно представить в виде
$A(u,v)du^2+B(u,v)dudv+C(u,v)dv^2=\pm ds_1^2+ \pm ds_2^2\eqno(1) $

Вы это много недель пытаетесь доказать. Безуспешно.
Дальнейшее бессмысленно .

-- Сб мар 19, 2011 09:13:40 --

evgeniy в сообщении #424614 писал(а):

Длины дуг ортогональны в силу вида квадратичной формы и их значения являются функционалом от кривой, соединяющей точки $ (u,v),(0,0) $.

Не доказано.

-- Сб мар 19, 2011 09:17:41 --

evgeniy в сообщении #424614 писал(а):

Произведем оцифровку поверхности сферы, направив длины дуг кривых по изменению углов сферической системы координат, при фиксированных значениях не изменяемых углов, получим
$s_1=R\varphi\eqno(8) $
$s_2=R|\sin\theta| \varphi\eqno(9) $

Подтвердите свое признание формулы
$ds_2=\frac{\partial s_2}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial s_2}{\partial \varphi}d\varphi$

И после этого сделайте замену переменных

Цитата:

$s_1=R\varphi\eqno(8) $
$s_2=R|\sin\theta| \varphi\eqno(9) $

но без болтовни, а по-честному.

[evgeniy]

Если говорить математически строго, то Вы правы. действительно формулу можно применять всегда, полагая член, равным нулю. НО в ходе рассуждений я говорил, что эту формулу применять нельзя в общем виде, а надо использовать одну частную производную. В этом смысле я говорил, что в общем виде ее применять нельзя, а нужно один член занулить. В общем это терминологический спор, а я такие споры не люблю. Действительно я не корректно выразился.
Я не размахиваю руками, как вы говорите, я думаю и над задачей с операторным уравнением, и рассказываю, что в этой задаче изменилось. Пожалуй я ее расскажу полностью, так как получил нелокальное решение задачи и теорема Гаусса о кривизне для этого случая не действует, но на это надо время.
То что я до этого говорил о этой квадратичной форме, не значит, что в нынешнем варианте есть ошибка. конктетно укажите какая формула ошибочна, они занумерованы.
В силу метрического интервала, равного $ds_1^2+ds_2^2$, получается ортогональность двух дуг, смешанного члена нет.
Формула полного дифференциала справедлива, но соотношение
$s_1=R\theta$
$s_2=R|sin\theta|\varphi(9)$
Формула (9) выведена в предположении фиксированного $\theta$ поэтому надо использовать формулу полного дифференциала при фиксированном $\theta$. При переменном $\theta$ формула (9) не справедлива.
Shvedka, мне кажется, что я достиг полной ясности в использовании длин дуг $s_1,s_2$ , как при их определении, так и при использовании.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424622 писал(а):

Пожалуй я ее расскажу полностью, так как получил нелокальное решение задачи

не вижу никакого решения. Покажите его, тогда будет, что обсуждать. ПОка что ничего Вы не получили.

evgeniy в сообщении #424622 писал(а):

То что я до этого говорил о этой квадратичной форме, не значит, что в нынешнем варианте есть ошибка. конктетно укажите какая формула ошибочна, они занумерованы.

формула $ds_1^2+ds_2^2$,
не доказана. Приведите вычисления, укажу ошибку.

evgeniy в сообщении #424622 писал(а):

При переменном $\theta$ формула (9) не справедлива.

То есть Вы даете неправильную формулу. зачем?/
Дайте правильную и будем считать метрический интервал. а неправильная формула не нужна!
Приведите ее при переменном угле $\theta$. Нужна ведь она при переменном угле.

evgeniy в сообщении #424622 писал(а):

НО в ходе рассуждений я говорил, что эту формулу применять нельзя в общем виде

Неправда. Формулу
$ds_2=\frac{\partial s_2}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial s_2}{\partial \varphi}d\varphi$
можно и нужно применять всегда.
Вне зависимости от того, как фунция $s_2$ найдена.
Если возражаете, приведите пример, когда она неверна.

[evgeniy]

хорошо, можно применять, но угол $\theta$ фиксирован, так устроена формула (9).
Приводим квадратичную форму к диагональному виду
$Adu^2+Bdudv+Cdv^2=\lambda_1 dx_1^2+\lambda_2 dx_2^2$
где неизвестная функция, которая возводится в квадрат, равна
$dx_l=g_{l1}du+g_{l2}dv$
пРичем в силу симметричности квадратичной формы собственные значения $\lambda_l$ действительны. Приведение квадратичной формы к диагональному виду я не помню точно алгоритма, помню только, что возводимое в квадрат выражение линейно по аргументам квадратичной формы, с помощью собственных векторов, причем этот квадрат с коэффициентом, равным собственному числу квадратичной формы.
Далее вносим собственное число под знак квадрата, и получаем выражение, которое у меня записано
$ds_l=\sqrt{|\lambda_l|}(g_{l1}du+g_{l2}dv)$
Я даю формулу оцифровки, эта формула описывает оси координат на сфере.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424631 писал(а):

так устроена формула (9).

Вы же говорите, что она неверна!!

evgeniy в сообщении #424622 писал(а):

При переменном $\theta$ формула (9) не справедлива.

с неверной формулой работать не следует.
Напишите верную формулу.

evgeniy в сообщении #424631 писал(а):

Далее вносим

я раза 33 Вас призывала Вас привести полные вычисления, а не обрывки.
Укажите новые переменные, дальше можно считать метрический интервал.

evgeniy в сообщении #424631 писал(а):

Приводим квадратичную форму к диагональному виду

зачем?? Она ведь уже и так диагональная!!

evgeniy в сообщении #424631 писал(а):

помню только, что возводимое в квадрат выражение линейно по аргументам квадратичной формы, с помощью собственных векторов, причем этот квадрат с коэффициентом, равным собственному числу квадратичной формы.

Плохо помните. При этом у квадратичной формы два собственных числа.
Возьмите учебник и повторите.

[evgeniy]

Полный вид формул в моем первом посте, нужно просто приложить усилия, проверить как приводится квадратичная форма к диагональному виду, далее вычислить длину дуг, заданных на кривой. Эта кривая вычисляется из минимума функционала, который тоже приведен по тексту. Нужно разбираться по тексту, в котором все сказано.
Или мне надо переписывать все заново, разбирая каждый шаг.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424635 писал(а):

нужно просто приложить усилия, Нужно разбираться по тексту... далее вычислить длину дуг

Вот и приложите. Вы и разбирайтесь. Вы и вычисляйте. Вы же автор!
Пока же все дупель-пусто.
Вы заявляете утверждение, противоречащее нескольким фундаментальным теоремам, и предлагаете читателям самим заполнять детали!
Это называется жульничество.

По состоянию на сейчас, предложенные тексты являются демонстрацией крайней и агрессивной безграмотности. Не вижу смысла дальнейших комментариев по существу, пока не предъявлены полные и детальные вычисления. до тех пор буду ограничиваться констатацией бреда.

[evgeniy]

Shvedka, я старался как мог, все это время исправлял текст, что получилось, то получилось, на большее я не способен, задавай вопросы, что не ясно
Произвольную квадратичную форму K(u,v) на поверхности тела можно представить в виде
$K(u,v)=A(u,v)du^2+B(u,v)dudv+C(u,v)dv^2=\lambda_1 dx_1^2+ \lambda_2 dx_2^2\eqno(1) $.
Отметим, что данная квадратичная форма зависит от пути интегрирования, и не является функцией двух переменных, а является функцией кривой u(v) и переменной v , т.е. метрический интервал не обязательно существует как функция двух переменных. Если бы метрический интервал был бы функцией двух переменных, то он не зависел бы от пути интегрирования. Зависимость от пути интегрирования следует из приведения данной квадратичной формы к виду (3), где длины дуг определяются по формуле (2).
Где квадратичная форма приведенна к диагональному виду и имеем
$dx_l=g_{l1}du+g_{l2}dv $
Внесем величину собственного вектора в квадратичный член, получим
$ds_l=\sqrt{|\lambda_l|}(g_{l1}du+g_{l2}dv)\eqno(2) $
Тогда для величины K(u,v), имеем формулу
$K(u,v)=\pm ds_1^2+\pm ds_2^2\eqno(3)$
Знак плюс, минус означает либо знак плюс, либо знак минус.
ПРичем эта формула справедлива вдоль любой кривой на поверхности тела. Причем величина $s_l$ зависит от пути интегрирования в формуле (2). Отмечу, что и начальная квадратичная форма в переменных (u,v), тоже зависит от пути интегрирования. Начальная и приведенная квадратичные формы равны.
Выделим кривые, которые определяют значения длин дуг $s_l$
Определим величину $s_l$ из равенств
$s_1=\int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_1|}(g_{11}\frac{du(v)}{dv}+g_{12})dv$
$s_2=\int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_1|}(g_{21}\frac{du(v)}{dv}+g_{22})dv\eqno(3) $
Где кривая u(v), определяет минимум функционала (4) при фиксированной начальной и конечной точке
$min \int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_1|(g_{11}\frac{du(v)}{dv}+g_{12})^2+ |\lambda_2|(g_{21}\frac{du(v)}{dv}+g_{22})^2}dv\eqno(4) $
Т.е. выбирается кривая, вдоль которой и определяются длины дуг, т.е. считается формула (3). Причем, так как имеем кривую линию, соединяющую две точки, подставляя в (3) произвольную зависимость u(v), вычислив минимум интеграла, получим определенную величину u(v), т.е. зависимость в виде функционала $s_1=s_1[u(v),v], s_2=s_2[u(v),v] $, причем это не просто функция, а функционал, т.е. функции u(v) и точки v, поставлено в соответствие значения $s_l,l=1,2$. Такое определение длин дуг позволит определить на поверхности тела сетку из ортогональных длин дуг $s_l,l=1,2$ и определить квадратичную форму (1). Длины дуг ортогональны в силу вида квадратичной формы в виде (3), т.е. нет перекрестного члена.
Значения длин дуг являются функционалом от кривой, соединяющей точки $ (u,v),(0,0) $. И вычисляются по формулам (3). Используя вычисленную по формуле (4) кривую.
Докажем, что из формулы (2) следует формула (3). Интегралы (3) получены из формул (2), причем интегралы (3) берутся вдоль кривой линии, т.е. из формул (2) следует формула (3).
Докажем, что из формул (3) следует формула (2) вдоль кривой линии. Вдоль кривой линии u(v) интегралы (3), это функция одной переменной, с переменным верхним пределом, равным v, значит, дифференцируя формулу (3) по верхнему переменному пределу интегрирования, получим вдоль кривой u(v), подынтегральное выражение, зависящее от одной переменной. При этом полученная формула соответствует (2) вдоль кривой линии. Т.е. из формул (3) следует (2).
Значит формулы (2) и (3) тождественны.
При этом определенная с помощью функционала квадратичная форма (1) вдоль произвольной кривой имеет вид
$\pm ds_1^2+\pm ds_2^2=\alpha du^2+\beta du dv+ \gamma dv^2\eqno(5) $
Начальная квадратичная форма (1) положительно определена только у выпуклой поверхности.
Продифференцировав величину дуги по переменной v, интеграл, подынтегральное выражение которого состоит из функции одной переменной, получим равенство
$\frac{d s_l}{d v}=\sqrt{|\lambda_1|}(g_{l1}\frac{du(v)}{dv}+g_{l2})$
Причем это равенство справедливо вдоль кривой u(v). Умножая на величину dv получим полный дифференциал вдоль кривой линии u(v)
$d s_l=\sqrt{|\lambda_1|}(g_{l1}du(v)+g_{l2}dv)$
Отметим, что (2) справедливо только вдоль кривой линии.
Подставляя полученный дифференциал в формулы (3), получим квадратичную форму (1), и значит, имеем совпадение коэффициентов
$A(u,v)=\alpha,B(u.v)=\beta,C(u,v)=\gamma$.

[AKM]

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Shvedka, ... задавай вопросы...

О недопустимости искажения ников участников я уже указывал. Никаких оснований обращаться к собеседнику на "ты" у Вас нет. А есть предыдущие предупреждения за вызывающее поведение на форуме.
Предлагается трёхдневный бан на изучение Правил форума. Ну и там заодно ещё чего-то из рекомендованного...

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Отметим, что данная квадратичная форма зависит от пути интегрирования,

Чепуха. В теорему о приведении квадратичных форм никакие пути интегрирования не входят!.

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Если бы метрический интервал был бы функцией двух переменных, то он не зависел бы от пути интегрирования.

Он и не зависит.
Никакое интегрирование в метрический интервал не входит.

Те, более, что в стандартных сферических координатах метрическая форма уже диагональна, и тут никаких преобразований не нужно.

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Внесем величину собственного вектора в квадратичный член, получим
$ds_l=\sqrt{|\lambda_l|}(g_{l1}du+g_{l2}dv)\eqno(2) $

(Автор не различает собственных векторов и собставенных значений. Так, пустячок, но еще одна демонстрация невежества.)
Вот здесь и есть ключевая ошибка. И она повторяет Ваши ошибки, которые Вы упорно повторяли в других Ваших темах.

Формулу (2) Вы можете написать ТОЛЬКО если форма $\sqrt{|\lambda_l|}(g_{l1}du+g_{l2}dv) $ удовлетворяет необходимому условию интегрируемости.

Напомню, что для интегрируемости уравнения

$ds=adu +bdv$

необходимо

$$\frac{\partial a}{\partial v}=\frac{\partial b}{\partial u}\ \ (*)$$

Если это условие нарушено, то уравнение неразрешимо.

доказывается условие (*)
элементарно. Из формулы полного дифференциала функции двух переменных следует

$$a=\frac{\partial s}{\partial u}, b=\frac{\partial s}{\partial v}$$

и теперь


$\frac{\partial a}{\partial v}=\frac{\partial^2 s}{\partial v\partial u}=\frac{\partial b}{\partial u} $
Если это условие нарушено, то такой функции$ s_l$ найти невозможно. И не будет у Вас никаких $ s_l$ . а условие интегрируемости и состоит в равенстве нулю Гауссовой кривизны.

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Отмечу, что и начальная квадратичная форма в переменных (u,v), тоже зависит от пути интегрирования.

Ваше личное измышление. Грубо ошибочное.

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Выделим кривые,

начиная с этого места, все неверно. Никаких $ s_l$ при ненулевой кривизне нет и быть не может -- условия интегрируемости. Что бы Вы ни интегрировали или дифференцировали, у Вас не получится таких функций.

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Длины дуг ортогональны в силу вида квадратичной формы в виде (3), т.е. нет перекрестного члена.

Формула (3) ошибочна, потому все дальнейшее неверно.

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Начальная квадратичная форма (1) положительно определена только у выпуклой поверхности.

Опять чепуха. Поверхность, выпуклая с одной стороны, становится вогнутой, если смотреть с другой стороны. Возьмите учебник дифференциальной геометрии и почитайте о геометрическом смысле Гауссовой кривизны.

evgeniy в сообщении #424614 писал(а):

Интегралы (3) получены из формул (2), причем интегралы (3) берутся вдоль кривой линии, т.е. из формул (2) следует формула (3).

Бред. Автор не умеет дифференцировать.
Напишите формулу полного дифференциала функции двух переменных
и применяйте ее при вычислениях.

Вы по-прежнему считаете, что полный дифференциал функции двух переменных можно найти только по значениям функции на фиксированной кривой. Вам на ошибочность и безграмотность этого утвеврждения указывали много раз в предыдущих темах. Но Вы продолжаете это повторять.

evgeniy в сообщении #424680 писал(а):

Определим величину $s_l$ из равенств
$s_1=\int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_1|}(g_{11}\frac{du(v)}{dv}+g_{12})dv$
$s_2=\int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_1|}(g_{21}\frac{du(v)}{dv}+g_{22})dv\eqno(3) $

Если условия интегрируемости нарушены, то эти функции НЕ БУДУТ решениями (2), поскольку решений у (2) нет.

Более того, метрическая форма ВСЕГДА положительно определена. опять же, почитайте учебник.


Диагноз. Грубейшая агрессивная безграмотность.

Я уверена, что далее автор станет утверждать, что классические необходимые условия интегрируемости уравнения
$ds_l=\sqrt{|\lambda_l|}(g_{l1}du+g_{l2}dv)\eqno(2) $[/quote]
на самом деле не необходимы, а автор может их все равно проинтегрировать.
Буду тогда ходатайствовать о полном бане за злокачественное невежество.


Единственный допустимый способ дальнейшего общения с автором:

Он заявляет, что может построит новую систему координат на сфере---
Пусть предъявит эту систему.

[shwedka]

по поводу еще одного Вашего заявления.

evgeniy в сообщении #424622 писал(а):

Если говорить математически строго, то Вы правы. действительно формулу можно применять всегда, полагая член, равным нулю. НО в ходе рассуждений я говорил, что эту формулу применять нельзя в общем виде, а надо использовать одну частную производную. В этом смысле я говорил, что в общем виде ее применять нельзя, а нужно один член занулить. В общем это терминологический спор,

Здесь ничуть не терминологический спор.
Речь идет о формуле полного дифференциала.

$$ds_2=\frac{\partial s_2}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial s_2}{\partial \varphi}d\varphi$ $

Ваше заявление, 'я говорил' что при каких-то условиях можно (или даже нужно) какой-то член в формуле, член не равный нулю, произвольным образом выбросить, категорически ошибочно. Еще одно измышление, демонстрирующее грубое непонимание основ анализа.



Этого делать нельзя. Если в правильной формуле отбросить ненулевое слагаемое, то получится неправильная формула. Еще один закон природы.
Другое дело, если известно, что при каких-то обстоятельствах какое-то из слагаемых равно нулю, то его можно опустить.

В приведенной цитате грубо искажено сказанное мной. Неверно, что слагаемое можно положить нулю. Нельзя. Оно какое есть, такое и есть.
Хоть Вам и очень хочется его положить нулю.

[evgeniy]

Вы не разобрались в моем последнем сообщении. Изложенное мною текст искажен. квадратичная форма
$dK(u,v)^2=Adu^2+Bdudv+Cdv^2$\eqno(1)
приводится к диагональному виду
$\lambda_1dx_1^2+\lambda_2dx_2^2\eqno(2)$
и это у меня написано, а Вы удивляетесь откуда получена формула (2). При выборе функции u=u(v) формула (1), запишется в виде
dK(u,v)^2=[A(\frac{du}{dv})^2+B\frac{du}{dv}+C]dv^2
откуда получаем
$K=\int_{v=0}^{v}\sqrt{A(\frac{du}{dv})^2+B\frac{du}{dv}+C}dv$т.е. получаем, зно значение метрического интервала зависит от пути интегрирования. это у меня доказано в тексте по другому. Я ссылаюсь на вид диагональной квадратичной формулы, в которой величина
$dx_l=g_{l1}du+g_{l2}dv\eqno(3)$
зависит от пути интегрирования, но так как квадратичная форма (1) получена с помощью тождественных преобразований, используя (3), зависящую от пути интегрирования, значит квадратичная функция (1) определяется с точностью до кривой. Это у меня написано.
Далее Вы пишите
$ds_l=\sqrt{|\lambda_l|}g_{l1}du+g_{l2}dv\eqno(3)$
что это выражение не является полным дифференциалом, полностью с Вами согласен. Каков выход, определить путь интегрирования, тогда эта формула будет иметь смысл. Путь интегрирования определяется с помощью минимума интеграла, причем значение (3) $s_l$, является функцией, кривой u(v), минимизирующей функционал, и точки v, по формуле
$s_l=\int_{v=0}^{v}\sqrt{|\lambda_l|}(g_{l1}\frac{du}{dv}+g_{l2})dv\eqno(3)$
Таким образом определяюся координаты $s_l$.
Дальнейшее подлежит рассмотрению, когда разберемся с начальными положениями.
Я просто не понимаю, как искажается текст, который я пишу. Ведь вроде бы у меня все сказано.

[shwedka]

Все неправильно.
Вы гнете свою ошибочную линию.
Например

evgeniy в сообщении #426176 писал(а):

Далее Вы пишите
$ds_l=\sqrt{|\lambda_l|}g_{l1}du+g_{l2}dv\eqno(3)$
что это выражение не является полным дифференциалом, полностью с Вами согласен. Каков выход, определить путь интегрирования, тогда эта формула будет иметь смысл.

То есть, хоть и не полный дифференциал, но мы очень хотим, и пусть будет.

Поскольку у Вас плотное нагромождение ошибочных утверждений при полном отсутствии понимания, в дальнейшем:
----------------------
Единственный допустимый способ дальнейшего общения с автором:

Он заявляет, что может построит новую систему координат на сфере---
Пусть предъявит эту систему. Будем проверять.

[evgeniy]

Аргумент, хочу, не хочу это не аргумент. Есть аргумент в чем ошибка. В результате моих рассуждений, определяются точки на сфере, $s_l$, зависящие от кривой и точки. В чем ошибочность такого рассмотрения.
Я могу построить систему координат на сфере, но она будет состоять из тех же формул, которые я уже приводил и никакой проверки не получится.