Доказать неравенство

[myra_panama]

Доказать , что если
$f(x)=\sqrt[n]{(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)\cdots (x+n)}$
(n - нечетное число) , то $|f'(0)|>\frac{12}{55}$

(Оффтоп)

Сначала продифференцировал , а потом как то не могу доказать f'(0)>...

[Sonic86]

А в чем проблема-то? Решается в лоб, только знать формулу Стирлинга для оценки факториала сверху
Или пишите, что получается - посмотрим.

[myra_panama]

Sonic86 в сообщении #424565 писал(а):

Или пишите, что получается - посмотрим.

$f'(x)=\frac1{n}[(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)\cdots (x+n)]^{\frac1{n}}[\frac1{x+1}+\frac1{x-2}+\cdots +\frac1{x+n}]$
отсюда,
$f'(0)=\frac{{n!}^{\frac1{n}}}{n}[1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n}]$
дальще , что?

[ИСН]

Дальше оценивайте обе части. Первую уже сказали как, а вторую - с использованием суммы похожего, но бесконечного ряда (которую ещё надо найти).

[mihailm]

(Оффтоп)

Стер
Обмануть хотел)

[Sonic86]

Сумму в скобочках Вы разве не можете оценить снизу? Если не можете - выпишите ряд Маклорена для $\ln (1+t)$ и внимательно на него посмотрите...
Далее - формула Стирлинга для факториала (Фихтенгольц, 2-й том).

[myra_panama]

Sonic86 в сообщении #424654 писал(а):

Сумму в скобочках Вы разве не можете оценить снизу? Если не можете - выпишите ряд Маклорена для $\ln (1+t)$ и внимательно на него посмотрите...

да уж , понял...

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n}>\ln 2$$

и
$\sqrt[n]{n!}>\frac{n}{e}$
отсюда легко доказать, что
$\frac{\ln2 }{e}>\frac{12}{55}$

если что то не то , то подскажите....

[Sonic86]

а вроде правильно.
Если

Цитата:

$\sqrt[n]{n!}>\frac{n}{e}$

верно, то даже проще, чем я думал...
Ну оно верно, конечно...