Разрезаем квадрат на треугольники в нечетном количестве

[juna]

1) можно ли разбить квадрат на нечетное количество равных треугольников
2) можно ли разбить квадрат на нечетное количество равных по площади треугольников

Ясно, что из невозможности 2) вытекает невозможность 1), но как доказать эти невозможности?

[juna]

Видимо не вызвала интереса.
В своей публичной лекции "Метрические пространства" И.В. Ященко формулирует эту задачу как чисто олимпиадную, которая особенно легко решается, если "ввести на натуральном ряду экзотическую метрику".
Нашел также обсуждение sciteclibrary и там ссылки на
Paul Monsky, American Mathematical Monthly 77 :2 (1970), 161-164.
Sherman Stein, "Cutting a Polygon into Triangles of Equal Areas," The Mathematical Intelligencer , 26 :1 (2004), 17-21.
Но, к сожалению, по ссылкам нет полного решения.

[AndAll]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

1) можно ли разбить квадрат на нечетное количество равных треугольников
2) можно ли разбить квадрат на нечетное количество равных по площади треугольников

Ясно, что из невозможности 2) вытекает невозможность 1), но как доказать эти невозможности?

Возможно, кажется, некоторое обобщение. Невозможность 1) даже для параллелограмма, в то же время, возможность 2) для любой и 1) для некоторых трапеций. Трапеция является разностью двух треугольников. Попробуйте поискать решение здесь.

[shwedka]

В статье Б.Беккер, Н. Нецветаев, Обобщенная лемма Шпернера и разбиение на симплексы равного объема. Записки Научных Семинаров ПОМИ (Петербургского отделения Математического ин-та РАН)
231 (1995), Исслед. по тополгии. 8, 245--254,
доказывается более общее утверждение: чтобы куб в n-мерном пространстве можно было бы разрезать на N симплексов одинакового объема, необходиомо и достаточно, чтобы N делилось на n! Там же и обсуждение исходной задачи. Первоначальное доказательсво, действительно, короткое, но основанное на р-адическом анализе дано
P. Monsky, Amer. Math. Monthly 77 (1970), 161--164;

[juna]

shwedka писал(а):

В статье Б.Беккер, Н. Нецветаев, Обобщенная лемма Шпернера и разбиение на симплексы равного объема. Записки Научных Семинаров ПОМИ (Петербургского отделения Математического ин-та РАН)
231 (1995), Исслед. по тополгии. 8, 245--254,
доказывается более общее утверждение: чтобы куб в n-мерном пространстве можно было бы разрезать на N симплексов одинакового объема, необходиомо и достаточно, чтобы N делилось на n! Там же и обсуждение исходной задачи. Первоначальное доказательсво, действительно, короткое, но основанное на р-адическом анализе дано
P. Monsky, Amer. Math. Monthly 77 (1970), 161--164;

Ну да, Ященко говорит о p-адической метрике, но как это использовать в данной задаче. У меня, к сожалению, нет выхода на эти публикации.

[shwedka]

Ну, наверняка в Ленинке, БЕН, библиотекаг многих вузов эти издания есть. Если не хотите идти в библиотеку, напишите Никите Юрьевичу Нецветаеву,
nn§pdmi.ras.ru
он Вам пришлет свою статью.
Paul Monsky
можете написать monsky§brandeis.edu
Если у него нет статьи в электроной форме (все-таки 70 год), он, может, передаст по факсу или отсканит.
Но не просите прислать на бумаге, это уже не принято.

[juna]

Спасибо за реквизиты!
Попробую вначале посетить библиотеку. (а мыло может лучше убрать, а то придется уважаемым авторам бороться со спамом и будет не до меня )
Но я все-таки предполагал, что раз это олимпиадная задача, у которой по выражению Ященко множество решений, кто-нибудь укажет хотя бы одно.

[maxal]

shwedka писал(а):

P. Monsky, Amer. Math. Monthly 77 (1970), 161--164;

Вот держите: http://slil.ru/24234039

[juna]

Премного благодарен.