definite integral

[man111]

If $\left|sin\theta\right|\neq \left|cos\theta\right|$,Then find value of $K$ If $\displaystyle\int_{cos^2\theta}^{sin^2\theta}\left(x-cos^2\theta\right).\left(x-sin^2\theta\right).\left(x-K\right)dx = 0$

Very simple task without demonstration of attempts of solving, see. n° I.1.г of rules.
/ GAA, 18.03.11

[Null]

Это же многочлены. Ну еще 0.5 - центр симметрии.

[ewert]

Null в сообщении #424232 писал(а):

Ну еще 0.5 - центр симметрии.

И, следовательно, он же и ответ.

(а хотя не совсем следовательно: отсюда следует, что это ответ, но что только это -- следует не отсюда)

[Dext]

Товарищ уже постил этот интеграл, только на другом ресурсе. Вроде ответили верно

Цитата:

Пусть \[p=\cos^2\theta\[, \[q=\sin^2\theta\[. Заметим, \[p+q=1\[
Уравнение можно переписать в виде \[\int\limits_p^q(x-p)(x-q)x\,dx=K\int\limits_p^q(x-p)(x-q)\,dx\[
Выполним замену \[x=\frac{q+p}{2}+\frac{q-p}{2}t\[
Получим \[-{\left(\frac{q-p}{2}\right)\!}^3\int\limits_{-1}^1(1-t^2)\!\left(\frac{1}{2}+\frac{q-p}{2}t\right)\!dt=-{\left(\frac{q-p}{2}\right)\!}^3 K\int\limits_{-1}^1(1-t^2)\,dt\[
Отсюда сразу видно. что \[K=\frac{1}{2}\[, т.к. в левой части один из интегралов равен нулю (интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку).

Публикация полных готовых решений учебных задач является нарушением, см. п. I.1.г. правил форума. Ветка закрыта и будет перенесена в Чулан.
/ GAA, 20.03.11