Числа вдоль прямой, задача с Кубка Памяти Колмогорова

[EduHcTBeHHaya]

Вдоль прямой записаны некоторые натуральные числа. Между соседними числами пишут их среднее арифметическое, а сами числа стирают. Верно ли, что после некоторого количества таких операций либо появится нецелое число, либо все числа станут равными?
(Автор задачи А. Я. Белов)

[Naf2000]

Не понял условия наверное, а если так:

2,4,6

3,5

4

[MrDindows]

Чисел походу бесконечное число, и даже если у Вас осталось одно число, то оно равно самому себе, значит и все числа стали равными)
И ещё интересно, за 1 операцию мы между ВСЕМИ соседними числами пишем..., или между какой-то ОДНОЙ ПАРОЙ?

[ИСН]

Naf2000 кагбе намекает, что можно проводить две такие операции одновременно. По-моему, нельзя, но это второстепенный вопрос.

И да, я не понял, а как могло бы выглядеть отрицание subj? Когда мы смахнём все числа, кроме одного, оно уж точно будет равным, без всяких "либо".

-- Ср, 2011-03-16, 13:40 --

А, или их там бесконечно?

[Xenia1996]

Naf2000 в сообщении #423491 писал(а):

Не понял условия наверное, а если так:

2,4,6

3,5

4

Я тоже условие не поняла.

Что значит "некоторые натуральные числа"?
Если их - конечное количество, то после каждой операции это количество уменьшается на единичку и в конце останется ровно одно число. Оно может быть целым (как в Вашем примере). А высказывание "все числа станут равными" будет в этом случае верным, ибо не будет двух неравных чисел.

Если чисел на прямой бесконечно много, то после каждой операции наименьшее (а наименьшее по определению существует, ибо числа натуральные, а не просто целые) из чисел увеличивается, следовательно, после бесконечного числа операций все числа будут бесконечно большими.

Я думаю, автор задачи имел в виду следующее:

Отметим на прямой все чётные натуральные числа. Тогда после любого конечного числа операций все числа будут целыми и попарно различными.

[Sonic86]

А еще вроде как необязательно, что числа различны....
Тогда считаем, что число чисел бесконечно, все операции удвоения выполняются одновременно. Насчет того, что все исходные числа четные не уверен. М.б. например $...1313131....$. Не уверен и в том, что каждое натуральное число отмечено на прямой - вроде как необходимости в этом нет...

А вообще видимо приведение задачи к понятному виду будет частью ее решения...

[svv]

Я думаю, автор задачи имел в виду следующее. Есть бесконечная в оба конца цепочка чередующихся чёрных и белых клеток. В белых клетках записаны натуральные числа, а черные пустые.
На первом шаге записываем одновременно в каждую черную клетку среднее арифметическое соседних белых клеток. После этого числа в белых клетках стираем.
На втором шаге записываем одновременно в каждую белую клетку среднее арифметическое соседних черных клеток. После этого числа в черных клетках стираем.
И так далее. Понятно, можно и не стирать. Это так, чтобы лишнее не мешало.

[TOTAL]

Sonic86 в сообщении #423535 писал(а):

А вообще видимо приведение задачи к понятному виду будет частью ее решения...

Во всех целых точках числовой прямой расположены натуральные числа $u^{(0)}_i.$
На $k-$ом шаге делается замена $u^{(k+1)}_i=(u^{(k)}_i + u^{(k)}_{i+1})/2$

[Sonic86]

Последовательность $a_n = 2|n|+1$ - контрпример к утверждению задачи. Однако для ограниченных последовательностей $a_n \leq C$ утверждение верно, поскольку $f(a_n)=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ будет давать нецелые, либо будет сжимающим.
Предположение: утверждение задачи верно для последовательностей $a_n: |a_n| = o(n)$

[staric]

Sonic86 в сообщении #423558 писал(а):

Последовательность $a_n = 2|n|+1$ - контрпример к утверждению задачи.

Уже на третьем шаге вылезают 2,5. Надо контролировать рост в обе стороны. Например, $a_{n+1} = 4a_{-n} - a_n$ и $a_{-(n+1)} = 4a_{n+1} - a_{-n}$ Типа, ... 153; 11; 1; 3; 41;... Шаг 1: ... 82; 6; 2; 22; 306;... и т.д.

[Sonic86]

Э-эх, опять я затупил.

[TOTAL]

EduHcTBeHHaya в сообщении #423479 писал(а):

Вдоль прямой записаны некоторые натуральные числа. Между соседними числами пишут их среднее арифметическое, а сами числа стирают. Верно ли, что после некоторого количества таких операций либо появится нецелое число, либо все числа станут равными?
(Автор задачи А. Я. Белов)

Например, неверно для таких чисел

$$\frac{u_{i-1}-2u_{i}+u_{i+1}}{4}=Const$$