Задача для 5 класса

[kocuHyc]

0, 1, 1, 2, 9, 25, 68, 21, 21, 84, ?

Какое следующее число?

[Xenia1996]

kocuHyc в сообщении #423124 писал(а):

0, 1, 1, 2, 9, 25, 68, 21, 21, 84, ?

Какое следующее число?

А что, в пятом классе уже Фибоначчи учат?
Если так, то я перееду в Россию

Данная последовательность основана на последовательности Фибоначчи. Не зная Фибоначчи, решить эту задачу довольно трудно.

[Xenia1996]

Ещё подсказка:

Числа в условии задачи - это остатки, получаемые при делении элементов сильно модифицированной последовательности Фибоначчи на фиксированное натуральное число.

Хотела бы я видеть пятиклассника(-цу), который(-ая) сможет справиться с таким гробом

[Xenia1996]

Раскрываю секрет. Эта задача родилась из личной переписки Виктории Борисовны (ТС) со мной. Правда, я просила её подождать и не постить задачу пока...ну ладно.

Берём последовательность Фибоначчи и строим из неё степенную башню (power tower).

$0 \equiv 0 \pmod {100}$
$1^0 \equiv 1 \pmod {100}$
$1^{1^0} \equiv 1 \pmod {100}$
$2^{1^{1^0}} \equiv 2 \pmod {100}$
$3^{2^{1^{1^0}}} \equiv 9 \pmod {100}$
$5^{3^{2^{1^{1^0}}}} \equiv 25 \pmod {100}$
$8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}} \equiv 68 \pmod {100}$
$13^{8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}}} \equiv 21 \pmod {100}$
$21^{13^{8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}}}} \equiv 21 \pmod {100}$
$34^{21^{13^{8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}}}}} \equiv 84 \pmod {100}$

Ответ на задачу будет 25

$55^{34^{21^{13^{8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}}}}}} \equiv 25 \pmod{100}$

[ИСН]

Ну вот что стоило подождать? Вдруг бы пришёл какой-нибудь пятикласснег и выдал элементарное объяснение?

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #423291 писал(а):

Ну вот что стоило подождать? Вдруг бы пришёл какой-нибудь пятикласснег и выдал элементарное объяснение?

Одиннадцатилетний Терри Тао на международке победил -> ребёнок ребёнку рознь.
А уж в наше-то время и подавно! Не удивлюсь, если какая-нибудь малолетка гипотезу Римана докажет (или опровергнет).

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #423253 писал(а):

Раскрываю секрет. Эта задача родилась из личной переписки Виктории Борисовны (ТС) со мной. Правда, я просила её подождать и не постить задачу пока...ну ладно.

Берём последовательность Фибоначчи и строим из неё степенную башню (power tower).

$0 \equiv 0 \pmod {100}$
$1^0 \equiv 1 \pmod {100}$
$1^{1^0} \equiv 1 \pmod {100}$
$2^{1^{1^0}} \equiv 2 \pmod {100}$
$3^{2^{1^{1^0}}} \equiv 9 \pmod {100}$
$5^{3^{2^{1^{1^0}}}} \equiv 25 \pmod {100}$
$8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}} \equiv 68 \pmod {100}$
$13^{8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}}} \equiv 21 \pmod {100}$
$21^{13^{8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}}}} \equiv 21 \pmod {100}$
$34^{21^{13^{8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}}}}} \equiv 84 \pmod {100}$

Ответ на задачу будет 25

$55^{34^{21^{13^{8^{5^{3^{2^{1^{1^0}}}}}}}}} \equiv 25 \pmod{100}$

Рано или поздно эта power tower стабилизируется по модулю 100. Интересно, как скоро это произойдёт и на каком именно именно числе.

[ИСН]

Это ещё с каких? Если бы основание всегда было одним и тем же, тогда конечно, а так-то?

[nnosipov]

ИСН в сообщении #423439 писал(а):

Это ещё с каких? Если бы основание всегда было одним и тем же, тогда конечно, а так-то?

Пардон, показалось, что будет также. Но уже по модулю 2 не стабилизируется (базы индукции нету!). Неужели и периода нет?

Кстати, вот такой вариант, возможно, верен: если последовательность $\{a_n\}$ натуральных чисел стабилизируется по любому модулю, то и power tower, образованная из этой последовательности, также стабилизируется по любому модулю.

[EduHcTBeHHaya]

nnosipov в сообщении #423443 писал(а):

ИСН в сообщении #423439 писал(а):

Это ещё с каких? Если бы основание всегда было одним и тем же, тогда конечно, а так-то?

Пардон, показалось, что будет также. Но уже по модулю 2 не стабилизируется (базы индукции нету!). Неужели и периода нет?

Кстати, вот такой вариант, возможно, верен: если последовательность $\{a_n\}$ натуральных чисел стабилизируется по любому модулю, то и power tower, образованная из этой последовательности, также стабилизируется по любому модулю.

А у чисел Фибоначчи есть период по модулю 100?

[Sonic86]

EduHcTBeHHaya писал(а):

А у чисел Фибоначчи есть период по модулю 100?

Есть конечно. У любой композиции многочленов и показательных функций, определенных для $n \geq n_0$ есть период по любому натуральному модулю.

[EduHcTBeHHaya]

Sonic86 в сообщении #423482 писал(а):

EduHcTBeHHaya писал(а):

А у чисел Фибоначчи есть период по модулю 100?

Есть конечно. У любой композиции многочленов и показательных функций, определенных для $n \geq n_0$ есть период по любому натуральному модулю.

Тогда ИСН неправ и должно зациклиться.

[Sonic86]

EduHcTBeHHaya писал(а):

Тогда ИСН неправ и должно зациклиться.

Нет, там непонятно. Я не очень точно выразился. Мне лень класс функций $F$ писать. $P(x)$ - многочлен $\Rightarrow P(x) \in F$, $P(x) \geq 0$ - многочлен, тогда $a^{P(x)} \in F$, и если $f_1(x) \in F, f_2(x) \in F \Rightarrow f_1(x)+f_2(x), f_1(x) \cdor f_2(x) \in F$. Вот класс $F$. Описанная выше функция не лежит в $F$.

[nnosipov]

(Оффтоп)

ИСН, ранее я слегка напутал, так как имел в виду не ту power tower. Можно ведь по последовательности $\{a_n\}$ составить и такую штуку $a_1^{a_2^{a_3}^{\vdots}}$. То, что она стабилизируется по любому модулю --- вроде как медицинский факт.