Найти количество разложений, имеющих четное число слагаемых

[Delnera]

Найти число разложений числа n>1, имеющих четное число четных слагаемых.

Подскажите хотя бы литературу, или с чего начать, не знаю с какой стороны преступить.

Спасибо.

[Sonic86]

А что понимается под разложением числа?

-- Вт мар 15, 2011 17:43:39 --

Delnera писал(а):

имеющих четное число четных слагаемых.

В смысле число должно быть представлено в виде суммы?

[Delnera]

Под разложением как я понимаю имеется ввиду все представления в виде суммы, при этом для 5-ки разложение 3+2 и 2+3 это разные разложения.
Да.
Вопрос заключается вот в чем
Например для той же 4 ки все ее разложения это
1+1+1+1
1+2+1
1+1+2
2+1+1
2+2 вот это искомое 2-четное число и их четное количество
1+3
3+1

то есть для 4-ки оно одно
ну вот так я понимаю это задание

[Dan B-Yallay]

Я так понимаю из формулировки, что интерес представляют только четные числа вида $2m$. А для них задача сводится к разбиению $m$ на четное число слагаемых.

[Delnera]

Нет, для пятерки эти числа будут например 2+2+1 1+2+2 2+1+2 то есть количество их 3



Интерес из формулировки имеют все числа больше 1

[Dan B-Yallay]

Пардон, неверно прочел условие. Для нечетных чмсел вида $2 m+1$ задача сводится к разбиению на четное число слагаемых всех чисел $k \leqslant m$

[Delnera]

Там ведь не просто четное число слагаемых, а четное число Четных слагаемых

-- Вт мар 15, 2011 17:09:45 --

где например возможна ситуация для 7 -ки 3+2+2 или 1+1+2+2+1 и оба варианта(как и все их перестановки подходят)

[sup]

Виноват, может чего-то не понимаю, но вроде бы для 4-ки четыре разложения
1+1+1+1
1+3
3+1
2+2
А для 5-ки 8 разложений
1+1+1+1+1
1+1+3
1+3+1
3+1+1
5
1+2+2
2+1+2
2+2+1
Разве нет?

[Delnera]

Нам нужны только разложения где ЧЕТНОЕ КОЛИЧЕСТВО ЧЕТНЫХ СЛАГАЕМЫХ
для 4-ки это 2+2
для 5-ки это 2+2+1 1+2+2 и 2+1+2

[sup]

А разве ноль четных слагаемых не считается?

-- Вт мар 15, 2011 20:37:12 --

Но даже если и так, то можно сначала сосчитать засчитывая 0 четных слагаемых, а затем вычесть разложения только на нечетные слагаемые.
Для обоих вариантов можно указать производящую функцию.

[Delnera]

но если 0 четных слагаем засчитывать, то там вообще ведь все вариантыО_о

-- Вт мар 15, 2011 17:59:53 --

ой нет для 6 не работает там ведь еще 2+2+2

[Dan B-Yallay]

Delnera в сообщении #423203 писал(а):

Там ведь не просто четное число слагаемых, а четное число Четных слагаемых

Пусть $n=2m+1$ нечетно. Пусть имеется какой-либо вариант требуемого разбиения.
Четное число четных чисел в сумме дает четное число $2k \leqslant 2m $ то есть $k \leqslant m$.
Так как число $2k$ разбито на четное количество четных слагаемых, это равносильно разбиению $k$ на четное число произвольных составляющих.

Как разбивать остаток $2m+1-2k$ - это уже посложнее. Надо подумать.

[sup]

Производящие функции таковы (если только не проврался)
для разложений с четным кол-вом четных слагаемых (включая 0 четных слагаемых)
$\frac {1}{2}(1+z+\frac {1-z^2}{1-z-2z^2})$
для разложения только на нечетные слагаемые (в точности те, для которых 0 четных слагаемых)
$\frac {z}{1-z-z^2}$
Так, что если взять их разность, то получим производящую функцию для кол-ва разложений с ненулевым четным числом четных слагаемых.

[Delnera]

простите за может быть глупый вопрос, производящие функции от чего от числа? они возвращают нам число разложений?

[sup]

Ну да, примерно так. Пусть у нас имеется некоторая последовательность $a_n$.
Рассмотрим функцию
$f(z) =a_0 +a_1z +a_2z^2 ....$
Такую функцию называют производящей (Это один из возможных вариантов. Можно предложить и другие). Коль скоро нам известна эта функция, то соответствующий коэффициент можно найти, вычислив нужную производную в точке $z=0$. Или с помощью интеграла по контуру по формуле Коши. Или с помощью каких-то иных преобразований.
Например, для разложений на нечетные слагаемые. Обозначим кол-во разложений числа $n$ на нечетные слагаемые через $a_n$. Можно показать, что в этом случае
$f(z) = \frac {z}{1-z-z^2}$
Теперь уже раскладывая эту дробь в сумму элементарных и вычисляя производные, можно явно найти эти самые $a_n$. А можно и через интеграл, что, впрочем, практически одно и то же.