задача Неймана для уравнения теплопроводности

[sam291074]

Подскажите, как решить одномерное стационарное уравнение теплопроводности, если на обоих границах заданы граничные условия Неймана?
Физически это означает, например, что оба конца структуры теплоизолированы. Дело в том, что решается система диф. уравнений численными методами (конечные разности), одно из которых - теплопроводности. Какое-то решение выдается, но оно очень сильно зависит от погрешности решения остальных уравнений (из которых определяется тепло внутренних источников). Хотелось бы стабилизировать эту ситуацию, если это возможно.

Если хотя бы на одном конце условие Дирихле, решение стабильно.
В представленной в разных источниках информации сказано, что решение задачи Неймана можно получить с точностью до константы, то есть однозначности никак не получить?

Извините, если путанно изложено, сам физик, использую численные методы для решения физических задач.

[Vince Diesel]

Решение задачи Неймана для уравнения теплопроводности единственно, в отличии от уравнения Лапласа. Подразумевается, конечно, что в начальный момент времени задается условие первого рода)
Для той и другой задачи есть устойчивые разностные схемы. Может, схема, годящаяся для условий Дирихле, не подходит для Неймана? Или с аппроксимацией граничного условия что-нибудь не то? Скажем, на данную аппроксимацию сильно влияют погрешности определения других уравнений. Или одинаковая погрешность ведет к большей погрешности решения в случае условий Неймана. Все это только предположения, конечно) Хотя, теоретически не исключено, что производную численного решения сложнее получить с нужной точностью, чем само решение. В этом случе трудность объективна.

[sam291074]

Vince Diesel
Да я вроде написал стационарное, т.е. по сути это Лаплас, если внутренние источники тепла отсутствуют. Или я ошибаюсь?

[Vince Diesel]

Насчет стационарного я пропустил. Так одномерное получается просто ОДУ. Если Лаплас, то это вторая производная и решение задачи Неймана пишется явно без всяких разностных схем. Там еще условие разрешимости будет - сумма производных на концах отрезка равна нулю. Как в многомернои случае. В одномерном это очевидно. Решениями являются линейные функции, поэтому и будет равенство производных по модулю на концах.

ЗЫ Если условие разрешимости не выполнено, то неудивительно, что результат вычисления по разностной схеме колбасит.

[sam291074]

Vince Diesel
То, что Вы изложили, верно. Вопрос какая из линейных функций единственная. Пример - одномерное уравнение Лапласа (2-я производная =0), ГУ - первая производная =0 и при x=0 и при x=L. Решение?
Получается, что y=ax+b. Из ГУ понятно лишь, что а тождественна 0. Следовательно b = const (любая).

Посмотрим физически. Очевидно, что из всех констант правильно выбрать температуру окружающей среды (нет внутренних источников, задача стационарна с чего бы температуре расти или падать?).

А если Пуассон с теми же ГУ (например источник тепла в каждой точке постоянен)?

[ewert]

sam291074 в сообщении #422927 писал(а):

В представленной в разных источниках информации сказано, что решение задачи Неймана можно получить с точностью до константы, то есть однозначности никак не получить?

Дело в том, что задача Неймана (для уравнения Пуассона) -- некорректна. Т.е. она разрешима неоднозначно, если вообще разрешима. Ничего и удивительного, что численные методы для неё склонны к развалам.

С физической точки зрения это вот что означает. Задача Неймана в стационарном случае имеет смысл только тогда, когда суммарная интенсивность источников тепла равна нулю (а что ж вы и хотели-то; если не равна, при условиях теплоизоляции -- то какая уж тут и стационарность-то). И если хоть чуть-чуть это условие (фактически некоторое условие ортогональности) нарушится -- естественно, всё пойдёт в разнос.

[Munin]

ewert в сообщении #422997 писал(а):

фактически некоторое условие ортогональности

Расскажите поподробнее, ортогональности кого и кому?

[ewert]

Munin в сообщении #423009 писал(а):

ортогональности кого и кому?

Задача разрешима тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна всем решениям однородной задачи (конкретно здесь -- всем константам, т.е. просто единице).

[Vince Diesel]

sam291074 в сообщении #422993 писал(а):

Посмотрим физически. Очевидно, что из всех констант правильно выбрать температуру окружающей среды (нет внутренних источников, задача стационарна с чего бы температуре расти или падать?).

Скажем так, это условиями Неймана не задается и должно определяться из каких-то других обстоятельств самой задачи.

Цитата:

А если Пуассон с теми же ГУ (например источник тепла в каждой точке постоянен)?

В этом случае условием разрешимости для уравнения $u''=f$ будет $u'(b)-u'(a)=\int_a^b f(x)\,dx$. Формулу решения, думаю, тоже явно выписать можно (при выполнения этого условия).

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #423084 писал(а):

Формулу решения, думаю, тоже явно выписать можно

А чего её выписывать: $y(x)=\int\limits_a^x(x-t)f(t)\,dt+C$.

[Vince Diesel]

А, ну да) Только я имел в виду решение задачи Неймана. Вместо $C$ должно быть $C_1x+C_2$, и при выполнении условия разрешимости можно подобрать $C_1$ такое, что...

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #423135 писал(а):

Только я имел в виду решение задачи Неймана.

Это и есть общее решение задачи Неймана (поскольку заранее известно, что оно существует и определено с точностью до константы).

[Vince Diesel]

На левом конце производная может равняться чему угодно, а без линейного члена она равна нулю. Вот на правом конце при этом она уже будет однозначно определена.

[ewert]

Так, ещё раз. Мы предполагаем, что $\int\limits_a^bf(x)\,dx=0$ (при этом условии решение гарантированно существует, а при его нарушении так же гарантированно нет). Как и для любой линейной задачи вообще, общее решение есть сумма общего решения соответствующей однородной задачи и частного решения неоднородной. Общее решение однородной задачи -- это константа (независимо от размерности, кстати). Соответственно, в качестве частного можно брать решение, равное нулю на левом конце. А это обязательно именно $\int\limits_a^x(x-t)f(t)\,dt$, поскольку это должно быть решением задачи Коши с нулевыми начальными условиями. Так что тут без вариантов.

[Vince Diesel]

ewert в сообщении #423140 писал(а):

Так, ещё раз. Мы предполагаем, что $\int\limits_a^bf(x)\,dx=0$ (при этом условии решение гарантированно существует, а при его нарушении так же гарантированно нет).

Это для нулевых граничных условий Неймана, а я имел ввиду для произвольных:

Vince Diesel в сообщении #423084 писал(а):

В этом случае условием разрешимости для уравнения $u''=f$ будет $u'(b)-u'(a)=\int_a^b f(x)\,dx$.