Теорема Ферма

[Валерий2]

Теорема Ферма. Размышления по поводу…

\[ x^n + y^n = z^n (1) \]

x , y , z – взаимно простые , не делящиеся на n целые числа (2)

\[ n \ge 3 \]

– показатель степени

\[ x + y = z + k \]

(3)

\[ x = mx_1 \]

(4)

\[ y = py_1 \]

(5)

\[ z = qz_1 \]

(6)

\[ x + y = z + k = q^n \]

(7)

\[ z - y = x - k = m^n \]

(8)

\[ z - x = y - k = p^n \]

(9)
Формулы (4) – (9) - это формулы Абеля.

Из (7) – (9) определим

\[ m^n p^n ,m^n q^n ,p^n q^n \]

:

\[ m^n p^n = \left( {x - k} \right)\left( {y - k} \right) = xy - ky - xk + k^2 = xy - zk \]

(10)

\[ m^n q^n = \left( {x - k} \right)\left( {x + y} \right) = x^2 - xk + xy - ky = xz - ky \]

(11)

\[ p^n q^n = \left( {y - k} \right)\left( {z + k} \right) = yz - kz - k^2 + ky = yz - kx \]

(12)

Таким образом, с учётом (2) и (7) – (9):

\[ k = mpqB \]

(13)
Пусть n = 3
Возводим (3) в куб:

\[ x^3 + y^3 = z^3 + k^3 - 3\left( {x - k} \right)\left( {y - k} \right)\left( {x + y} \right) \]

\[ x^3 + y^3 = z^3 + k^3 - 3m^n p^n q^n \]

(14)

\[ x^3 + y^3 = z^3 \]

(15)
значит,

\[ k^3 = 3m^3 p^3 q^3 \]

(16)

\[ k^{} = m^{} p^{} q^{} \sqrt[3]{3} \]

(17)
k не может быть рациональным

Пусть

\[ n = 4 \]

Перемножим (3) и (14):

\[ x^4 + y^4 = z^4 + k^4 - 2m^n p^n \left( {z^2 + k^2 - xy + zk + q^{2n} } \right) \]

(18)

\[ x^4 + y^4 = z^4 \]

(19)

\[ k^4 = 2m^4 p^4 \left( {z^2 + k^2 - xy + zk + q^{2n} } \right) \]

(20)
z и k делятся на q, значит , с учётом (13), xy должно делиться на q,
что не соответствует условию (2).

Возводим (3) в квадрат:

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k^2 + 2zk - 2xy \]

(21)

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k^2 - 2\left( {xy - zk} \right) = z^2 + k^2 - 2m^n p^n \]

(22)

Перемножим (14) и (22):

\[ x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - 5\left( {x - k} \right)\left( {y - k} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x^2 + y^2 + xy - zk} \right) \]

(23)

\[ x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - 5m^n p^n q^n \left( {x^2 + y^2 + m^n p^n } \right) \]

(24)
Возведём (24) в квадрат:

\[ x^{10} + y^{10} + 2x^5 y^5 = z^{10} + k^{10} + 2z^5 k^5 - 10m^n p^n q^n \left( {x^2 + y^2 + m^n p^n } \right)\left( {z^5 + k^5 } \right) + 25m^{10} p^{10} q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^n p^n } \right)^2 \]

(25)

Пусть

\[ n = 10 \]

\[ x^{10} + y^{10} = z^{10} \]

(26)

\[ k^{10} = - 2z^5 k^5 + 2x^5 y^5 + 10m^{10} p^{10} q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)\left( {z^5 + k^5 } \right) - 25m^{10} p^{10} q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)^2 \]

(27)

\[ {\rm{k}}^{{\rm{10}}} {\rm{ = 2}}\left( {{\rm{xy - zk}}} \right)\left( {x^4 y^4 + x^3 y^3 zk + x^2 y^2 z^2 k^2 + ...} \right) + 10m^5 p^5 q^5 \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)\left( {z^5 + k^5 } \right) - 25m^{10} p^{10} q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)^2 \]

(28)

\[ k^{10} = m^{10} p^{10} \left[ {2\left( {x^4 y^4 + x^3 y^3 zk + x^2 y^2 z^2 k^2 + ...} \right) + 10q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)\left( {z^5 + k^5 } \right) - 25q^{10} \left( {x^2 + y^2 + m^{10} p^{10} } \right)^2 } \right] \]

(29)

z и k делятся на q, значит , с учётом (13),

\[ x^4 y^4 \]

должно делиться на q,
что не соответствует условию (2) , значит (26) неверно.
Отсюда следует, что и для показателя n=5 условие (2) не может быть выполнено.

В общем виде. Пусть n – простое.

\[ x^n + y^n = z^n + k^n - m^f p^f q^f A \]

(30)
Возведём (30) в квадрат:

\[ x^{2n} + y^{2n} + 2x^n y^n = z^{2n} + k^{2n} + 2z^n k^n - 2m^f p^f q^f A\left( {z^n + k^n } \right) + m^{2f} p^{2f} q^{2f} A^2 \]

(31)
Пусть при

\[ f = 2n \]

выполняется условие (1):

\[ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n} \]

(32)

\[ k^{2n} = - 2z^n k^n + 2x^n y^n + 2m^{2n} p^{2n} q^2 A\left( {z^n + k^n } \right) - m^{4n} p^{4n} q^{4n} A^2 \]

(33)

\[ k^{2n} = 2\left( {xy - zk} \right)\left( {x^{n - 1} y^{n - 1} + x^{n - 2} y^{n - 2} zk + ... + z^{n - 1} k^{n - 1} } \right) + 2m^{2n} p^{2n} q^{2n} A\left( {z^n + k^n } \right) - m^{4n} p^{4n} q^{4n} A^2 \]

(34)

\[ k^{2n} = m^{2n} p^{2n} \left[ {2\left( {x^{n - 1} y^{n - 1} + x^{n - 2} y^{n - 2} zk + ... + z^{n - 1} k^{n - 1} } \right) + 2q^{2n} A\left( {z^n + k^n } \right) - m^{2n} p^{2n} q^{4n} A^2 } \right] \]

(35)

z и k делятся на q, значит , с учётом (13),

\[ x^{n - 1} y^{n - 1} \]

должно делиться на q, что не соответствует условию (2) , значит (31) неверно.
Отсюда следует, что и для показателя n условие (2) не может быть выполнено.

Формулы, аналогичные (4) – (9) , могут быть выведены и в случае, когда одно из чисел x, y, z делится на n. Поэтому приведённые выше рассуждения справедливы и для этого случая.



04.10.2006 г.
[/math]

Здравствуйте!
Позвольте краткий комментарий.
Я пытаюсь показать, что для любого простого

\[ n \ge 3 \]

невозможно существование тройки взаимно простых чисел x,y,z , удовлетворяющих
уравнению

\[ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n} \]

(значит, и

\[ x^{n} + y^{n} = z^{n} \]

).
Хотелось бы получить любые отзывы по поводу вышеизложенных рассуждений.

[PAV]

PAV:

Сообщение отделено в самостоятельную тему. К автору: Вам предписывается оформить все формулы так, как принято на этом форуме, с использованием тега MATH. Как это сделать, можно прочитать здесь

[Iosif1]

[quote="Валерий2"]Теорема Ферма. Размышления по поводу…
x↑n + y↑n = z↑n (1)

x , y , z – взаимно простые , не делящиеся на n целые числа (2)
Уважаемый Валерий2.
Если я правильно понял, Вы рассматриваете вариант, когда сомножитель n не присутствует ни в одном из оснований равенства 1. Я же рассматриваю вариант, когда этот сомножитель присутствует в одном из оснований. Именно такой случай на период 1980 года (Г. Эдвардс"Последняя теорема Ферма) считался недоказан. И именно такой варианта доказательства предлагается к рассмотрению . Я не математик. Но если вы хотите знать мое мнение по варианту доказательства БТФ, присланное Вами, я постараюсь разобраться. Но это, если вы подтвердите мне свое желание. Ведь математика в различных разделах довольно самостоятельна.
С уважением. Iosif1

[PAV]

PAV:

Iosif1
В вашем последнем сообщении неправильное цитирование. Вы не закрыли тег. Исправьте.

Кроме того, я последний раз предупреждаю и Iosif1, и Валерий2. В данном форуме обязательны определенные правила к оформлению своих сообщений (формулы, цитаты). Следование этим правилам является элементом уважения к собеседникам, так как существенно облегчает восприятие сообщений. Если вы хотите общаться здесь, то будьте любезны освоить эти правила и следовать им. В противном случае я прибегну к более жестким административным мерам.

[Iosif1]

Валерий2 писал(а):

Теорема Ферма. Размышления по поводу…
x↑n + y↑n = z↑n (1)

x , y , z – взаимно простые , не делящиеся на n целые числа (2)
n≥3 – показатель степени
x + y = z + k (3)

х = mx1 (4)
y = py1 (5)
z = qz1 (6)
x + y = z + k = q↑n (7)
z – y = x – k = m↑n (8)
z – x = y – k = p↑n (9)
Формулы (4) – (9) - это формулы Абеля.

Из (7) – (9) определим (mp)↑n, (mq)↑n, (pq)↑n :
(mp)↑n = (x – k)(y – k) = xy – ky – xk + k↑2 = xy – zk (10)
(mq)↑n = (x - k)(x + y) = x↑2 – xk + xy – ky = xz – ky (11)
(pq)↑n = (y – k)(z + k) = yz – kz – k↑2 + ky = yz – kx (12)

Таким образом, с учётом (2) и (7) – (9):
k = mpqB (13) Пусть n = 3
Возводим (3) в куб:
x↑3 + y↑3 = z↑3 + k↑3 – 3 ( x - k ) ( y – k ) ( x +y )
x↑3 + y↑3 = z↑3 + k↑3 – 3 (mpq)↑n (14)
x↑3 + y↑3 = z↑3 (15)
значит,
k↑3 = 3 (mpq)↑3 (16)
k = mpq (3)↑⅓ (17)
k не может быть рациональным

Пусть n=4
Перемножим (3) и (14):
x↑4 + y↑4 = z↑4 + k↑4 – 2 (mp)↑n (z↑2 + k↑2 - xy + zk + (q)↑2n ) (18)
x↑4 + y↑4 =z↑4 (19)
k↑4= 2(mp)↑4 (z↑2 + k↑2 - xy + zk + (q)↑2n ) (20) z и k делятся на q, значит , с учётом (13), xy должно делиться на q,
что не соответствует условию (2).

Возводим (3) в квадрат:
x↑2 + y↑2 = z↑2 + k↑2 + 2zk – 2xy (21) x↑2 + y↑2 = z↑2 + k↑2 - 2 ( xy – zk ) = z↑2 + k↑2 - 2(mp)↑n (22)

Перемножим (14) и (22):
x↑5 + y↑5 = z↑5 + k↑5 – 5( x - k )( y – k )( x + y )(x↑2 + y↑2 + xy – zk ) (23)
x↑5 + y↑5 = z↑5 + k↑5 – 5 (mpq)↑n (x↑2 + y↑2 +(mp)↑n ) (24)
Возведём (24) в квадрат:
x↑10 + y↑10 + 2(xy)↑5 = z↑10 + k↑10 + 2(zk)↑5 – 10(mpq)↑n(x↑2 +
+y↑2 +(mp)↑n) (z↑5 + k↑5) + 25(mpq)↑10 (x↑2 + y↑2 + (mp)↑n )↑2 (25)

Пусть n=10
x↑10 + y↑10 = z↑10 (26)
k↑10 = -2(zk)↑5 +2(xy)↑5+10(mpq)↑10 (x↑2+y↑2 +(mp)↑10) (z↑5 + k↑5) -
-25(mpq)↑10 (x↑2 + y↑2 + (mp)↑10 )↑2 (27)
k↑10 = 2 (xy – zk) ( (xy)↑4+ (xy)↑3 zk + (xyzk)↑2 +… ) +
+10(mpq)↑5 ( x↑2 + y↑2 + (mp)↑10) (z↑5 +k↑5) - 25(mpq)↑10(x↑2 + y↑2 + (mp)↑10)2 (28)

k↑10 = (mp)↑10{2 ( (xy)↑4 + (xy)↑3 zk + (xyzk)↑2 +…) + 10q↑10 (x↑2 + y↑2 + (mp)↑10) (z↑5 + k↑5) - 25 q↑10 (x↑2 + y↑2 + (mp)↑10)2} (29)

z и k делятся на q, значит , с учётом (13), (xy)↑4 должно делиться на q,
что не соответствует условию (2) , значит (26) неверно.
Отсюда следует, что и для показателя n=5 условие (2) не может быть выполнено.

В общем виде. Пусть n – простое.
x↑n + y↑n = z↑n + k↑n – (mpq)↑f А (30)
Возведём (30) в квадрат:
x↑(2n) + y↑(2n) + 2(xy)↑n = z↑(2n) + k↑(2n) + 2(zk)↑n – 2(mpq)↑f А(z↑n + +k↑n) + (mpq)↑(2f) А↑2 (31)
Пусть при f=2n выполняется условие (1):
x↑(2n) + y↑(2n) = z↑(2n) (32)
k↑(2n) = -2(zk)↑n + 2(xy)↑n + 2 (mpq)↑(2f) А(z↑n + +k↑n) –
-(mpq)↑(4n)А↑2 (33)
k↑(2n) = 2(xy –zk)((xy)↑(n-1)+ (xy)↑(n-2) zk +… +xy(zk)↑(n-2) +(zk)↑(n-1)) +2(mpq)↑(2n) A(z↑n + +k↑n) -(mpq)↑(4n)А↑2 (34)

k↑(2n) = (mp)↑(2n){2 ((xy)↑(n-1)+ (xy)↑(n-2) zk +… +xy(zk)↑(n-2) +(zk)↑(n-1) + 2q↑(2n)A(z↑n + +k↑n) –(mp)↑(2n)q↑(4n)А↑2} (35)

z и k делятся на q, значит , с учётом (13), (xy)↑(n-1) должно делиться на q, что не соответствует условию (2) , значит (31) неверно.
Отсюда следует, что и для показателя n условие (2) не может быть выполнено.

Формулы, аналогичные (4) – (9) , могут быть выведены и в случае, когда одно из чисел x, y, z делится на n. Поэтому приведённые выше рассуждения справедливы и для этого случая.



04.10.2006 г.
[/math]

Уважаемый Валерий2.
Модератор на нас разгневан. Мной неправильно использована ссылка. А как правильно, не знаю. Я отправил Вам послание, не знаю, получили ли вы его. Попробую еще раз.
Вдогонку!
Что касается аппарата счислений, то он может быть применен и для случая, когда сомножитель $n$ не принадлежит ни к одному из оснований рассматриваемого равенства. В этом случае (см. основное изложение) : $D_a$, $D_b$, $D_c$, $F_a$, $F_b$ и $ F_c$ взаимно простые. При этом $D_c$ должно содержать хотя бы двухзначный штамп в $n$ - том счислении. Поэтому основания $a$ и $b$ должны подбираться таким образом, чтобы это условие было обеспечено. При этом остается обязательным условием, чтобы и $c_n$ было точной степенью. Первые символы штампа основания при возведении в степень сохранятся, а вторые символы штампа в этом случае изменятся. То есть мы не сможем, например для $n=3$ , обеспечить желаемое:
$01+11=22$
$01 + 01=02$
Конечно, может быть для большей убедительности необходимо рассмотреть закономерности, присущие вторым символам оснований и степеней. Но это сделать можно тоже.
C уважением Iosif1

Если в основном доказательстве что то непонятно с формулами, спрашивайте! Я стараюсь, но пока не могу исправить.: не обогащен знаниями достаточно.
P.S. Я как-то оказался на вашей странице. Путаюсь в интернете. Верно, скоро выгонят.

[незваный гость]

Iosif1 писал(а):

Модератор на нас разгневан. Мной неправильно использована ссылка.

незваный гость:

1) Модератор отнюдь не разгневан. Он делает свою работу — следит за тем, чтобы правила форума выполнялись всеми участниками.

2) Вы напрасно игнорируете указание модератора исправить предыдущее сообщение. В котором неправильно оформлена, кстати, не ссылка, а цитата (не закрыт тег [quote]).

3) Правила форума запрещают обсуждение действий модераторов в тематических разделах. Хотите — идите в «работу форума».