Сферическая система координат

[evgeniy]

При продолжении функции одной переменной имеется одна общая точка на действительной оси. При продолжении функции, заданной на отрезке не направленном вдоль осей имеется общая область у продолжаемой и продолжающей функции - отрезок. Так как на отрезке обе эти функции совпадают, значит и продолжение совпадает с продолжаемой функцией.
Медицинсткий факт, это случай одной переменной, а в случае двух переменных имеются области, через которые существует единственное продолжение.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #422083 писал(а):

и продолжение совпадает с продолжаемой функцией.
Медицинский факт, это случай одной переменной, а в случае двух переменных имеются области, через которые существует единственное продолжение.

Неверно.
Ваше очередное личное измышление.
В многомерной ситуации ровно настолько же продолжение совершенно неоднозначно.

evgeniy в сообщении #422083 писал(а):

Так как на отрезке обе эти функции совпадают, значит и продолжение совпадает с продолжаемой функцией.

или с какой-нибудь другой.

[evgeniy]

Shwedka, вы конечно великолепный математик, но иногда говорите не по существу. кАк в общей области продолжаемая и продолжающая функция могут иметь разные значения. Функция непрерывна и имеет вторую производную. Если Вы имеете в виду, что отрезок зависит от одного параметра, и имеет определенное изменение функции от одного параметра, то непрерывное значение производной на отрезке определит вторую функцию, по которой должно быть совпадение. У двух продолжаемых функций, совпадающих с продолжаемыми функциями, имеется две зависимости u(t),v(t), и следовательно определится каждая из функций u(t),v(t), совпадающая с точками на отрезке. В случае не совпадения продолжающей и продолжаемой функции, совпадения точек u(t),v(t) не будет. Т.е. продолжение единственно в случае задания на определенных областях и однозначной разрешимости
u(t),v(t).

[shwedka]

evgeniy в сообщении #422109 писал(а):

кАк в общей области продолжаемая и продолжающая функция могут иметь разные значения.

Они прекрасно могут иметь общие значения на отрезке, но эти значения не определяют значения продолжения вне отрезка.

evgeniy в сообщении #422109 писал(а):

то непрерывное значение производной на отрезке определит вторую функцию, по которой должно быть совпадение

Не определит.

evgeniy в сообщении #422109 писал(а):

В случае не совпадения продолжающей и продолжаемой функции, совпадения точек u(t),v(t) не будет.

Докажите.

Давайте так,
я приведу Вам пример неоднозначности продолжения через косо расположенный отрезок, а Вы оставите эту тему, в которой, как всегда, у Вас сплошные заблуждения.

[evgeniy]

Я с нетерпением жду примера, чтобы на отрезке совпадали две разные функции двух переменных - функция и ее производная, зависящие от одного параметра, длины отрезка.

[shwedka]

будете ждать, пока не обещаете прекратить эту пустую болтовню о продолжениях функций.

[evgeniy]

Я вообще ни слова не скажу на этой теме, если Ваш пример окажется верным.

[shwedka]

Рассмотрим функцию одной переменной
$\omega(r)=\exp(-\frac{1}{1-r^2}), r^2<1;\ \omega(r)=0, r^2\ge1$

Эта функция бесконечно дифференцируема всюду, включая точки $r=\pm 1$, где все производные равны нулю. Об этом можно прочитать, например, в книге Михлина, которую, возможно, Вы уже начали читать, стр.29.

Функция $\omega(r-1)$ тоже бесконечно дифференцируема, при этом отличается от нуля только на (0,2).

Зададим $h_\pm(r)=\omega(\pm(r-1))$

Bозьмем произвольные гладкие функции двух переменных,
$f_{\pm}(x,y)$
Построим функцию

$F(x,y)=f_+(x,y) h_+(x+y)$ при $x+y\ge0$, $F(x,y)=f_-(x,y) h_-(x+y)$ при $x+y\le0$

Функция $F(x,y)$ бесконечно дифференцируема всюду. Вне прямой $x+y=0$ просто по формуле дифференцирования произведения. А на этой прямой-- опять по формуле дифференцирования произведения все производные равны нулю.
Вот мы и получили две функции в двух полуплоскостях, совершенно между собой не связанные, но совпадающие, вместе со всеми частными производными на прямой $x+y=0$.

Если Вы хотите, чтобы на этой прямой производные не нулями были, добавьте ко всему этому агрегату опять же произвольную гладкую функцию двух переменных.

Даже так. Пусть бесконечно гладкая вплоть до границы функция уже задана в полуплоскости $x+y\le0$. Можно ли эту функцию продолжить с сохранением бесконечной гладкости в другую полуплоскость, и если можно, то будет ли это продолжение однозначно.

Ответ таков. Продолжить можно. Продолжение дается теоремой Уитни о продолжении.
См., например, Мальгранж. Идеалы дифференцируемых функций. (можно взять на http://djvuru.512.com1.ru:8073/WWW/c56a9ade480c1710d078518facabc9ea.djvu ) Но это трудная книга и трудная теорема, хотя ее доказательство и не очень длинное.
Продолжение неоднозначно. Возьмите произвольную гладкую фунцию $g(x,y)$ и добавьте $g(x,y) h_+(x+y)$. Вот и получите полным-полно разнообразных продолжений.

Все это распространяется на произвольную размерность, и с заменой прямой $x+y=0$ на произвольную гладкую кривую (поверхность в большей размерности), разбивающую плоскость (пространство).

Поймите же наконец, что в математике накоплено немало теорем, запрещающих какие-то конструкции, устанавливающие неразрешимость каких-то задач и тп. Вы, возможно по незнанию, пытаетесь, уже не в первый раз с теоремами спорить. Дело безнадежное и исходно обреченное. Доказанные математические теоремы - это не предмет спора. Этим они отличаются от высказываний в физике или, там, в технике, где новое знание может (отчасти) перечеркнуть старое. В математике не так. Запрет на какое-то построение будет всегда. Даже после того, как Солнце погаснет, запрет останется. С теоремами не спорят. Безнадежное дело.

[evgeniy]

Мне надо подумать. Ответ дам в пятницу. Единственно, чтобы хотелось, чтобы Вы ответели, какова ошибка, по-Вашему мнению у операторного метода построения углов. Я буду продолжать думать над этой задачей, но без вАшей помощи. Вед существует разложение $ds_1^2+ds_2^2$, имеющее не нулевую кривизну, так как можно ввести углы $ds_l=Rd\varphi_l$ и поверхность имеет не нулевую кривизну. Дело в том, что самые общие теоремы имеют исключения. Но это я буду делать без Вашей помощи.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #422949 писал(а):

самые общие теоремы имеют исключения.

Нет, уважаемый. Не имеют. На то они и теоремы.

Или, как вы считаете,
для всех кругов площадь равна $\pi r^2$, но вот есть один исключительный круг, для которого площадь другая?

evgeniy в сообщении #422949 писал(а):

Единственно, чтобы хотелось, чтобы Вы ответели, какова ошибка, по-Вашему мнению у операторного метода построения углов.

Говоря коротко-- в результате.

Когда будет во всех деталях изложено, укажу ошибки.

evgeniy в сообщении #422949 писал(а):

Вед существует разложение $ds_1^2+ds_2^2$, имеющее не нулевую кривизну,

Не существует. Профессор Гаусс не разрешает.

[evgeniy]

Я не хотел вступать в дискуссию, так как обещал прекратить свои выступления. Но вынужден привести один аргумент. Да преобразование, которое существует и приводит к метрическому интервалу $ds_1^2+ds_2^2$ возможно имеет нулевую кривизну по Гауссу. Эта квадратичная форма единственная, с точностью до множителя. НЕ является ли преобразование координат $s_l=s_l(u,v),l=1,2$ вырожденным, таким что Гауссова кривизна не сохраняется. Это только один из способов, что общая теорема не является верной. Хотя формула преобразования Гауссовой кривизны при переходе к новой параметризации равна единице, нет ли нуля в значении коэффициента, связывающем Гауссовы кривизны при разной параметризации.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #423184 писал(а):

НЕ является ли преобразование координат $s_l=s_l(u,v),l=1,2$ вырожденным, таким что Гауссова кривизна не сохраняется.

Не является. вырожденные преобразования НЕ МОГУТ использоваться при замене параметризации, по определению параметризации. вырожденное преобразование отображает область на плоскости во всего лишь кривую на поверхности.

[evgeniy]

С замечанием согласен, но не является ли оно таким, что коэффициент пропорциональности между Гауссовой кривизной равен нулю. Я чувствую физику, это преобразование приводит к плоской задаче, значит чем-то выделено. Общая квадратичная форма приводится к диагональному виду
$a(u,v)du^2+2b(u,v)dudv+c(u,v)dv^2=ds_1^2+ds_2^2$
Причем в двумерном случае существует интегрирующий множитель у уравнения
$ds_l=A_ldu+B_ldv,l=1,2$
т.е. величина $s_l $, определится.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #423206 писал(а):

не является ли оно таким, что коэффициент пропорциональности между Гауссовой кривизной равен нулю

не является.
Гауссова кривизна - инвариант. Поэтому коэффициент пропорциональности равен единице.

evgeniy в сообщении #423206 писал(а):

Общая квадратичная форма приводится к диагональному виду
$a(u,v)du^2+2b(u,v)dudv+c(u,v)dv^2=ds_1^2+ds_2^2$

Так она уже диагональная. С коэффициентом. И в коэффициенте все дело. Это от вашего интегрирующего множителя. От коэффициента не избавитесь.
Вы yже пытались приводить. И пришли к тому же.
О стенку головой бьетесь.

evgeniy в сообщении #423206 писал(а):

Я чувствую физику, это преобразование приводит к плоской задаче

Не приводит.
Профессор Гаусс запрещает.
Вы чувствуете физику. Вечный двигатель не строите, знаете запрет. Так вот, запрет математических теорем еще строже и крепче.

[evgeniy]

пРиведя квадратичную форму к виду
$\Lambda_1^2dx_1^2+\Lambda_2^2dx_2^2=ds_1^2+ds_2^2\eqno(1)$
причем величины огибающих определяются с точностью до пути интегрирования.
Это следует и из формул
$s_l=\int_{x_l=0}^{x_l}\sqrt{\sum_{k=1}^{3}(\frac{\partial y_k}{\partial x_l})^2}dx_l\eqno(2)$
где $y_k, k=1,...,3$ это декартовы координаты, $x_l,l=1,2$ это координаты параметрического задания поверхности, т.е. определенные по формуле (1) огибающие не являются однозначной функцией двух переменных, и вторую переменную можно задать произвольной функцией первой. но можно сделать ее однозначной функцией двух переменных, зафиксировав переменную, по которой не производилось интегрирование, и построить ортогональную сетку при фиксированных значениях по другой переменной, по которой не производилось интегрирование.
ПЕреход от точки на поверхности тела в координатах $s_l$ к координатам $x_l$ производится при решении двух уравнений с двумя неизвестными по формуле (2) при фиксированном значении координаты, по которой не производилось интегрирование. Таким образом добиваемся однозначного обратного преобразования. пРичем в силу ортогональности координат $x_l$, координаты $s_l$, построенные по формуле (3) будут ортогональны. При интегрировании или изменении по $x_1$ переменная $x_2$ фиксированна.
$s_l=\int_{x_l=0}^{x_l}\Lambda_l(x_1,x_2)dx_l\eqno(3)$
таким образом строим решение в зависимости от координат $s_l$, а пересчитываем в декартово пространство по предложенному однозначному обратному преобразованию.
Стоит вопрос об однозначности обратного преобразования, ведь задавая другую переменную как функцию по которой интегрируем, получим другое решение обратного пребразования. Но дело в том, чтобы в координатах из огибающей были ортогональными, как мне кажется надо фиксировать другую переменную в интеграле (3).