Неравенство

[MrDindows]

Сам придумал ( а мб и встречал где-то, и вспомнилось), но доказать не смог=)
Для положительных $x, y, z$, таких что $x+y+z=1$ доказать

$$\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2} \ge \frac12$$

[Sasha2]

Согласно Чебышеву $LHS \ge \frac{x+y+z}{3}(\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2})$
Или (согласно условию)$ LHS \ge \frac{1}{3}(\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2})$.
Осталось показать, что $\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2} \ge \frac{3}{2}$,
а это Несбит.

Вроде верно, если опять не напутал с условием применения неравенства Чебышева.

[MrDindows]

Что такое Несбит?)

[Sasha2]

А это стандартное и хорошо известное неравенство

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$,
которое доказывается очень многими способами.

[MrDindows]

Не знал, что оно так называется(

[Sasha2]

Если у меня все верно, то не думаю, что эта задача носит олимпиадный характер, поскольку не выходит далее стандартного применения хорошо известных стандартных неравенств.

[MrDindows]

Ну почему же, для 10-го класса на третий этап думаю пойдёт.

[MrDindows]

Такое вот: $a$ и $b$ – различные натуральные числа такие, что $ab(a + b)$ делится на $a^2+ab+b^2$. Докажите, что $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$

Я дошёл до того, что
$a^3 \vdots \ a^2+ab+b^2$
$b^3 \vdots \ a^2+ab+b^2$
И ещё кучу всякой фигни получил, но то что треубется, доказать не смог)

[MrDindows]

С этой тоже, если не тяжело, помогите пожалуйста
Для положительных чисел $x,y,z$ таких, что $xy+xz+yz = 1,$ доказать неравенство

$$\frac{x^3}{1+9y^2xz}+\frac{y^3}{1+9z^2yx} + \frac{z^3}{1+9x^2yz} \ge \frac{(x+y+z)^3}{18}.$$

[arqady]

MrDindows в сообщении #422926 писал(а):

С этой тоже, если не тяжело, помогите пожалуйста
Для положительных чисел $x,y,z$ таких, что $xy+xz+yz = 1,$ доказать неравенство

$$\frac{x^3}{1+9y^2xz}+\frac{y^3}{1+9z^2yx} + \frac{z^3}{1+9x^2yz} \ge \frac{(x+y+z)^3}{18}.$$

Воспользуемся неравенством Гёльдера.

$$\sum_{cyc}\frac{x^3}{1+9y^2xz}\geq\frac{(x+y+z)^3}{3\sum\limits_{cyc}(1+9x^2yz)}\geq\frac{(x+y+z)^3}{18}$$

-- Пн мар 14, 2011 23:53:22 --

MrDindows в сообщении #422514 писал(а):

Сам придумал ( а мб и встречал где-то, и вспомнилось), но доказать не смог=)
Для положительных $x, y, z$, таких что $x+y+z=1$ доказать

$$\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2} \ge \frac12$$

Следующее неравенство (при тех же ограничениях) тоже верно.

$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2} \ge \frac12$$

Вот забавное неравенство:
Пусть $x$, $y$ и $z$ положительны и такие, что $x^2+y^2+z^2=3$. Докажите, что:

$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2} \ge \frac12$$

[MrDindows]

А что гласит неравенство Гёльдера в общем виде?)

[arqady]

MrDindows в сообщении #422995 писал(а):

А что гласит неравенство Гёльдера в общем виде?)

Например, для трёх энок чисел оно выглядит так:
Пусть $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, $b_1$, $b_2$, ..., $b_n$ и $c_1$, $c_2$, ..., $c_n$ - положительны.
Тогда для любых положительных $k$, $l$ и $m$ выполняется следующее неравенство:

$$(a_1+a_2+...+a_n)^k(b_1+b_2+...+b_n)^l(c_1+c_2+...+c_n)^m\geq\left(\sum_{i=1}^na_i^{\frac{k}{k+l+m}}b_i^{\frac{l}{k+l+m}}c_i^{\frac{m}{k+l+m}}\right)^{k+l+m}$$

[MrDindows]

$$\sum_{cyc}\frac{x^3}{1+9y^2xz}\geq\frac{(x+y+z)^3}{3\sum\limits_{cyc}(1+9x^2yz)}$$

Не пойму как вы его сюда всунули(

Если не ошибаюсь, то вы сделали так:

$$\frac{a_1^3}{b_1}+\frac{a_2^3}{b_2}+\frac{a_3^3}{b_3}\ \geq \frac{(a_1+a_2+a_3)^3}{3(b_1+b_2+b_3)}$$

Но оно, имхо, всёравно больше похоже на Йенсена или КБШ, чем на то, что вы написали(

[Sasha2]

Может быть так тогда
$(\frac{a_1^3}{b_1}+\frac{a_2^3}{b_2}+\frac{a_3^3}{b_3})(b_1+b_2+b_3)(1+1+1) \ge (a_1+a_2+a_3)^3$
Отсюда все эти энки, если, конечно, я не напутал опять.
Честно говоря, у меня тоже вызывает трудности применение неравенства Гельдера.

[MrDindows]

Да, действительно. Спасибо большое)
Вот только интересно, эти неравенства: Гёльдера и Чебышева можно применять на олимпиаде без доказательства их самих?)