Функциональное уравнение

[Cute]

Решите функциональное уравнение

$f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)$.

[ShMaxG]

Ну одно-то решение в виде $f(x)=x^2$ видно не вооруженным взглядом. Есть ли еще какие решения?..

[Cute]

ShMaxG в сообщении #422197 писал(а):

Ну одно-то решение в виде $f(x)=x^2$ видно не вооруженным взглядом. Есть ли еще какие решения?..

Ага, это решение я тоже нашёл! А вот как остальные найти?

[MrDindows]

Доказав, что функция равна нулю только для нуля: $f(0)=0$, подставив это вместо $x$, получаем $f(-f(y))=f(y^2)$
Ещё доказываем, что $f(a)=f(b)$ возможно только в том случае, если $a=\pm b$ либо $f(x)=0$ для всех $x$.
Тогда из предыдущего равенства для первого случая получим:
$f(x)= \pm x^2$ . Ещё с помощью нескольких подстановок и проверки устанавливаем, что удовлетворяют условие функции: $f(x)=x^2, \ f(x)=-x^2, \ f(x)=0$.

[Simba]

MrDindows в сообщении #422304 писал(а):

Доказав, что функция равна нулю только для нуля: ,

А как это значение найти? Дальнейшее понятно. Но кажется и без этого можно обойтись (я так говорю потому что не смог этого вывести), можно вывести что $f(a)=f(b) \Leftrightarrow a=\pm b$ а затем $x,y=0 \Rightarrow f(f(0))=0;$ затем:$ x=0\Rightarrow f(f(0)-f(y))=f(y^2) \Rightarrow f(x)=\pm x +c$, далее получаем искомые ответы, просто при проверке окажется, что $c=0$. Но любопытно, как вы все же это нашли?

[MrDindows]

Я там немного оговорился, достаточно только найти что $f(0)=0$.
Для этого подставляем $x=y=0$. Получаем:
$f(f(0))=0$. или же $f(0)=k, f(k)=0.$
Дальше подставляем $x=0,\ y=k$. Получаем $f(k^2)=0$.
Подставляем $x=k $ . $f(-f(y))=k-k^2f(y)+f(y^2)$
Подставляем $x=k^2$ . $f(-f(y))=k-k^4f(y)+f(y^2)$
Из разницы двух полученных равенств находим что $k=0, \ -1,\ 1$
Дальше, с помощью проверки получил что только $k=0$ удовлетворяет условие.

[Cute]

MrDindows в сообщении #422304 писал(а):

доказываем, что $f(a)=f(b)$ возможно только в том случае, если $a=\pm b$ либо $f(x)=0$ для всех $x$

А как это доказать? Подскажите пожалуйста.

[MrDindows]

Cute в сообщении #422747 писал(а):

MrDindows в сообщении #422304 писал(а):

доказываем, что $f(a)=f(b)$ возможно только в том случае, если $a=\pm b$ либо $f(x)=0$ для всех $x$

А как это доказать? Подскажите пожалуйста.

Предположите, что существуют такие a,b , что $|a|<>|b|$, $f(a)=f(b)$
Подставьте их сначала вместо $x,y$, а потом вместо $y,x$...=)
Не забудьте воспользоваться тем, что $f(x^2)=f(-f(x))$.
Сравните полученные равенства и сделайте выводы)

[Cute]

MrDindows, спасибо большое! Буду разбираться.