Нить

[dovlato]

Тяжёлая нерастяжимая однородная тонкая нить вытянута на столе перпендикулярно его краю, некоторая её часть свободно свисает с края. Оказалось, что самопроизвольно соскальзывать нить начинает, когда длина лежащей части не более чем в $n$ раз превышает длину свисающей. Найти коэффициент трения $k$. Comment: ответ $k=1/n$ просьба не предлагать.

[ewert]

dovlato в сообщении #422338 писал(а):

Comment: ответ $k=1/n$ просьба не предлагать.

А я вот всё-таки предложу. Не вижу оснований, по которым этого не следовало бы делать. Ну будет натяжение нити на столе линейно (в предельном случае) зависеть от координаты, ну и что. Краевым эффектом тоже можно пренебречь.

[dovlato]

ewert в сообщении #422346 писал(а):

Краевым эффектом тоже можно

Мало того: так же и в МИФИ решили, когда давали эту задачу в качестве тренировочной (слава-те, в олимпиадные не поместили; видимо, сочли слишком простой))). На самом деле ничем тут пренебречь нельзя. Надо честно рассматривать край стола не как математическую линию (тогда она просто перерезала бы нить) - а как закруглённую поверхность, характерные размеры которой в разы превышают толщину нити. Физический аналог такой задачи рассматривался ещё аж в доисторические времена - у Перельмана, в задаче о канате, намотанном на кнехт.

[ewert]

Да, пардон. Я когда думал о закруглении -- почему-то решил, что раз добавочные давления там не велики и длина участка мала, то и добавочное трение мало. Это не так, конечно. Ну тогда $k\,e^{k\pi/2}=\frac{1}{n}$.

[Munin]

А если нить недостаточно тяжела, чтобы облегать закругление края стола под собственным весом?

[ewert]

Munin в сообщении #422366 писал(а):

А если нить недостаточно тяжела, чтобы облегать закругление края стола под собственным весом?

Если бесконечно недостаточно, то $k=\frac{1}{n+1}$.

[dovlato]

Во-во. Там, на углу, своеобразная дельта-функция возникает. Тут что любопытно;
1. Если $n>>1$, то действительно $k\rightarrow 1/n$
2. А если нить уже заскользила - то с этого момента ф-ла $1/n$ становится практически точной! Ведь край всё же имеет очень малый радиус закругления, и нить попросту "перелетает" через него.
3. А в вашем случае толстой нити.. Ощущение, что здесь уже трудности не школьного уровня; но интуиция говорит, что потолстевшая дельта-функция всё же ещё будет присутствовать.

-- Вс мар 13, 2011 12:40:09 --

Munin в сообщении #422366 писал(а):

если нить недостаточно тяжела

Видимо, это переходные случаи, имеющие пределом скольжение твёрдого тела; ведь "недостаточно тяжела" можно перефразировать как - слишком жёстка.

[Munin]

Да, похоже, об край стола нить (реальная) трётся как твёрдое тело, но "хвост" всё равно лежит на столе.

[ewert]

В общем, нехорошая задачка. Слишком много вариантов интерпретации. Ясно, что край считается бесконечно острым, а нить -- бесконечно гибкой, но вот как гибкость соотносится с остротой -- ни из каких общих соображений не следует.