Уравнение в натуральных числах.

[bundos]

Доказать, что уравнение $3m+n+(m+n)^2=2k$ имеет единственное решение $\forall k \in \mathbb N$

[ИСН]

Спросили трёх человек: что вы делаете?
Один ответил - "Решаю уравнение, только какое-то странное: непонятно, кто тут переменная, а кто параметр". (Ага, спасибо, так лучше.)
Второй - "Пытаюсь получить зачёт".
А третий сказал: "Устанавливаю в явном виде биекцию $\mathbb N$ и $\mathbb N^2$".

[bundos]

Виноват, накосячил в условии, ща подправил...
ИСН, я что-то вас не совсем понял...

[ИСН]

А я и не говорил ничего предназначенного для понимания.

[bundos]

Вроде доказал, только как-то сомнительно получилось. Проверьте пожалуйста на наличие косяков.
$\forall k \exists m,n: m,n$- будут корнями уравнения.
Пусть $(m,n)$- решение уравнения при некотором $k$.Рассмотрим произвольное $m_1=m+l, l>0$, тогда, если $n<l$, то, очевидно, натурального $n_1$, чтобы $(m_1,n_1)$ были решением уравнения- не существует.
Рассмотрим $n>l$
$(m+n)(m+n-1)+2m+2l<(m+n)(m+n+1)+2m$
$(m+n)(m+n+1)+2m<(m+n+1)(m+n+2)+2m+2l$, значит не существует такого натурального $n_1$, чтобы $(m_1,n_1)$ были решением уравнения.
Аналогичные рассуждения для $l<0$ и относительно $n$. Значит уравнение имеет единственное решение.

[bundos]

Только это походу справедливо для целых неотрицательных $n,m$

[bundos]

И ещё при $n=l$, получил, что при $n_1=0$, $(m_1,n_1)$ также решением не является...

(Оффтоп)

Как-то всё это бредовато выглядет, но другого решения придумать не смог.