Инволютивность векторных полей.

[Dmitro]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста разобраться с понятием инволютивности векторных полей. Использую литературу [1,2].
Подскажите пожалуйста ответы несколько возникших вопросов.

В [1] дано следующее определение инволютивности: Множество векторных полей $ \left\{ \mathbf{X}_1(\mathbf{x}),\ldots,\mathbf{X}_m(\mathbf{x}) \right\}$ инволютивно, если существуют такие скалярные поля $\alpha_{ijk}(\mathbf{x})$, что
$ \left[ \mathbf{X}_i,\mathbf{X}_j \right] = \sum\limits_{k=1}^m\alpha_{ijk}(\mathbf{x})\mathbf{X}_k(\mathbf{x})$.
Здесь $ \left[\cdot,\cdot \right]$ – скобки Ли.

Правильно ли я записываю это выражение в развернутом виде. Например имеем $m$ векторных полей

$ \mathbf{X}_1(\mathbf{x})=\left[ \begin{array}{c} f_{11}(\mathbf{x}) \\ f_{12}(\mathbf{x}) \\\ \vdots \\\ f_{1n}(\mathbf{x}) \end{array} \right]$; $ \mathbf{X}_2(\mathbf{x})=\left[ \begin{array}{c} f_{21}(x) \\ f_{22}(\mathbf{x}) \\\ \vdots \\\ f_{2n}(\mathbf{x}) \end{array} \right]$; … $ \mathbf{X}_m(\mathbf{x})=\left[ \begin{array}{c} f_{m1}(\mathbf{x}) \\ f_{m2}(\mathbf{x}) \\\ \vdots \\\ f_{mn}(\mathbf{x}) \end{array} \right]$

И, например, для векторных полей $\mathbf{X}_1(\mathbf{x})$ и $\mathbf{X}_2(\mathbf{x})$ должны существовать такие $m$ функций $\alpha_{12\cdot}(\mathbf{x})$, что векторное поле
$\left[ \mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2 \right] =\dfrac{\partial \mathbf{X}_2}{\partial \mathbf{x}}\mathbf{X}_1-\dfrac{\partial \mathbf{X}_1}{\partial \mathbf{x}}\mathbf{X}_2=\left[ \begin{array}{c} \alpha_{121}(\mathbf{x})f_{11}(\mathbf{x})+\alpha_{122}(\mathbf{x})f_{21}(\mathbf{x})+\ldots+\alpha_{12m}(\mathbf{x})f_{m1}(\mathbf{x}) \\ \alpha_{121}(\mathbf{x})f_{12}(\mathbf{x})+\alpha_{122}(\mathbf{x})f_{22}(\mathbf{x})+\ldots+\alpha_{12m}(\mathbf{x})f_{m2}(\mathbf{x}) \\\ \vdots \\\ \alpha_{121}(\mathbf{x})f_{1n}(\mathbf{x})+\alpha_{122}(\mathbf{x})f_{2n}(\mathbf{x})+\ldots+\alpha_{12m}(\mathbf{x})f_{mn}(\mathbf{x}) \end{array} \right]$

также является одним из полей множества $ \left\{ \mathbf{X}_1(\mathbf{x}),\ldots,\mathbf{X}_m(\mathbf{x}) \right\}$?
Правильно ли я понял, что множество в целом будет инволютивным, если такие функции есть для каждой пары полей?

[1] Методы классической и современной ТАУ в 5-и тт. Т.5. / Под ред К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова.
[2] Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза

[svv]

Dmitro писал(а):

также является одним из полей множества

Является линейной комбинацией полей множества.

Dmitro писал(а):

Правильно ли я понял, что множество в целом будет инволютивным, если такие функции есть для каждой пары полей?

Да. То есть всевозможные скобки Ли от элементов множества не выводят Вас за пределы множества -- в смысле линейных комбинаций.

[zhoraster]

Dmitro в сообщении #410691 писал(а):

Правильно ли я понял, что множество в целом будет инволютивным, если такие функции есть для каждой пары полей?

Правильно.

Другими словами, множество векторных полей инволютивно, если его линейная оболочка замкнута относительно взятия скобки Ли.

[Dmitro]

Спасибо.
Уточните пожалуйста по поводу линейной комбинации полей множества (наверное я задам совсем дилетантский вопрос).
Т.е., используя запись из стартового сообщения, $\alpha_{12\cdot}(\mathbf{x})$ это не функции, а постоянные коэффициенты $\alpha_{12\cdot}$ (если индексы в указанной записи правильные)?
И условие инволютивности можно записать так: $ \left[ \mathbf{X}_i,\mathbf{X}_j \right] = \sum\limits_{k=1}^m\alpha_{ijk}\mathbf{X}_k(\mathbf{x})$?

[svv]

Нет, почему Вы так подумали? Коэффициенты переменные, у Вас и в книге так написано: $\alpha_{ijk}(\mathbf{x})$.

[Dmitro]

Спасибо. Не могу перестроиться – воспринимаю множество $ \left\{ \mathbf{X}_1(\mathbf{x}),\ldots,\mathbf{X}_m(\mathbf{x}) \right\}$ как матрицу, от того и хочется, чтобы связь была через постоянные коэффициенты (хотя это по-моему частный случай).

Ответьте пожалуйста на несколько вопросов по определению инволютивности.
Рассматриваем $m$ векторных полей $\mathbf{X}_1(\mathbf{x}),\ldots,\mathbf{X}_m(\mathbf{x})$, $n$ – размерность вектора $\mathbf{x}$
1) Верно ли, что если $m=n$, то все $m$ полей в любом случае инволютивны? Или в этом случае инволютивность необходимо проверять?
2) Верно ли, что если $m>n$, и из них $n$ полей инволютивны, то и все $m$ инволютивны? И в этом случае проверка инволютивности всех $m$ полей не обязательна, а достаточно проверить лишь $n$ полей?

[Vince Diesel]

Оба раза нет. Например, если некоторые поля совпадают. Тут надо добавлять линейную независимость.

[Dmitro]

Да, тут не всё так резко, нужно еще отдельные условия оговаривать.
Подскажите пожалуйста:
1) Что можно почитать по инволютивности и где можно найти методики ее определения на простом, так сказать «инженером» уровне. Чтобы можно было методику оформить в виде универсальной процедуры в каком-либо пакете символьных вычислений, и работу с полями свести к работе с матрицами. Я так смотрю, на форуме вопросы по определению инволютивности не задают. Может это вообще не проблема и математики как-то сразу чувствуют – типа посмотрел на множество полей – и всё понятно. Хотя вывод может быть и неочевидным.
2) Может вопрос не совсем в рамках форума, но есть ли в Maple или Mathcad готовые функции проверки инволютивности ? Может Вы встречали уже разработанные Maple-процедуры проверки. Кстати опять-таки на одном из форумов по Maple даже слово инволютивность не попадается.

Всё как-то так загадочно...

[Vince Diesel]

Если векторные поля заданы аналитически формулами, в любой конкретной точке проверить инволютивность нетрудно, все сводится к линейной алгебре. Но вот как проверить в области, точек то много) Вот если $n$ гладких полей линейно независимы в каждой точке, то действительно будет инволютивность. Однако доказательство даже такого факта требует проверки во всех точках области, что, исходя из задания полей формулами, еще надо как-то сделать. Инволютивность эквивалентна вполне интегрируемости, так что, если выяснить, что все поля касаются поверхности той же размерности, что и ранг матрицы координат полей, то это дало бы положительный ответ. Однако я подозреваю, что как раз ответ на этот вопрос и требуется) Единственное, что приходит в голову, взять некоторое количество точек и проверить инволютивность в них. Это програмно легко сделать.