Ряд, коэффициенты которого выражаются рекуррентно

[myra_panama]

Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n x^n}{n!}$ , если $a_0=0 , a_1=1$ и коэффициенты $a_n$ удовлетворяет соотношениям

$$a_{n+2}+2a_{n+1}+(n^2-n+\frac29)a_n=0$$

(Оффтоп)

если обозначить $y(x)=\frac{a_nx^n}{n!} $
$x\frac{d}{dx}y_n=ny_n$
..... дальше...думаю..

[bot]

Суммирование с нуля начинается? Вообще-то это без разницы, если $a_0=0$, и можно списать на простую неряшливость. А вот перед $a_{n+1}$ линейного (относительно n) множителя не пропущено? Без него хорошего ДУ не получается.

[myra_panama]

bot в сообщении #421853 писал(а):

А вот перед $a_{n+1}$ линейного (относительно n) множителя не пропущено?

здесь только при n=0,1,2,...

$x\frac{d}{dx}y_n=ny_n$,
$(x\frac{d}{dx})^2y_n=n^2y_n$,
где здесь
$y_n(x)=\frac{a_n}{n!}x_n$
дальше можно найти как то $y_{n+1}, y_{n+2}$
и получить ДУ

-- Пт мар 11, 2011 19:01:33 --

извиняюсь .... да вы прав bot здесь вот так

$$a_{n+2}+2na_{n+1}+(n^2-n+\frac29)a_n=0$$

[bot]

myra_panama в сообщении #421855 писал(а):

здесь вот так

Ага - тогда лучше. Если теперь это уравнение кой на что домножить, да просуммировать, то некоторые слагаемые окажутся производными искомой суммы или интегралами от неё (после может быть выноса некоторой степени икса)
Что-то вроде уравнения Эйлера должно получиться, 4-й вроде степени.

[Vince Diesel]

Четвертая степень имхо многовато. Логично, чтобы была такая же, как порядок реккурентности.
Но не поручусь :) Ответ для проверки: $3((1+x)^{2/3}-(1+x)^{1/3})$

[myra_panama]

Vince Diesel в сообщении #421959 писал(а):

Ответ для проверки: $3((1+x)^{2/3}-(1+x)^{1/3})$

а как вы получили ДифУрав??

[Vince Diesel]

Я его не получал) А идею получения изложил выше bot