Т.е. угол между двумя фиксированными векторами зависит от системы координат.
Собственно, эту зависимость легко выписать в явном виде. Нужно взять выражение (33) для угла и сделать в нем замену, соответствующую повороту системы координат.
Какой поворот системы координат Вы собрались делать? Подозреваю, что евклидов.. А можно только финслеров.. Вы забываете, что имеете дело совсем с иным пространством и группа движений у него, оставляющая инвариантными длины и углы, совсем иная. Углы между векторами сохраняет только
СВОЯ финслерова группа движений. Та самая, которая в
абелева, двухпараметрическая и представляет собой гиперболические повороты.
Тут возникает один момент. Если зафиксировать два вектора и угол между ними, то вращая систему координат можно угол сделать сколь угодно большим, приближая координатную плоскость к одному из векторов. А вот сколь угодно маленьким угол сделать нельзя. Может этот минимум и будет характеристикой взаимного расположения векторов.
Да, этот абзац только подчеркивает, что Вы говорите про евклидовы вращения, но это не правильно. В трехмерном пространстве с метрической функцией Бервальда-Моора нет таких преобразований среди группы его движений, что были бы похожи на евклидовы повороты. Собственно, на этом основании практически никто из математиков или физиков не воспринимает сходу это пространство как полноценного конкурента трехмерного евклидова или псевдоевклидова пространств. Лишь немногие уверены, что это поспешное впечатление. Думаю, положения спасают именно тринглы. Ни среди группы движений, ни среди конформной группы
нет ничего, хотя бы отдаленно напоминающее привычные евклидовы вращения, однако таковые есть среди группы симметрий, сохраняющих тринглы. Правда, не те, что мы чуть выше обсуждали (я склоняюсь называть их гиперболическими), а второй класс тринглов (их наверное можно именовать эллиптическими), которого мы с Вами еще даже не касались. Более того, этот второй класс тринглов пока не описан в наших статьях. Мы просто еще не успели этого сделать и потому я бы не хотел касаться сейчас этого аспекта. Тем более, что Вам и с группой движений финслеровых пространств далеко не все ясно.
Имхо, в пределах солнечной системы возможно евклидова и финслерова геометрии конкурентоспособны. Обе геометрии игнорируют и квантовые свойства микромира и дискретность реального пространства в видимых пределах Big Bang, а реальное сущее едино. С уважением,
Среди моих знакомых есть кандидаты и доктора физмат. наук (я к ним не отношусь), кто более тридцати лет занимается исключительно финслеровыми пространствами. Ни один не решился бы на подобное утверждение. Разрешите поинтересоваться, сколько сил и времени Вы потратили на изучение финслеровых геометрий, раз считаете себя вправе делать подобные заявления?
Почему я не прореагировал на Ваше сообщение. Я решаю практические задачи, а финслерово пространство, как я понял из Вашей дискуссии не описывает реальное трехмерное пространство. По крайней мере оно описывает четырехмерное простанство Минковского. Описывает ли оно при этом свое подпространство, трехмерное пространство. Можно ли решать практические задачи диффракции с помощью этих углов.
Когда то считалось очевидным, что наше реальное пространство вполне адекватно описывает трехмерное подпространство геометрии Галилея и воспринималось как дикость предложение Минковского заменить метрику последнего на четырехмерную пседоевклидову. Постепенно выяснилось, что именно второе существенно ближе к реальности, правда для этого нужно включить в рассмотрение достаточно большие относительные скорости. Наше предложение о рациональности замены метрики Минковского на Бервалбда-Моора опирается примерно на аналогичное расширение диапазона параметров, только вместо критерия связанного с относительными скоростями появляется критерий связанный с относительными интервалами. Ну и новая геометрия оказывается существенно сложнее и необычнее устроена, чем псевдоевклидова и даже псевдориманова. Я вполне допускаю, что наши попытки могут оказаться тщетными, но без тщательного и подробного изучения именно финслеровых пространств, на одной только интуиции, заключения об их бесполезности и обреченности на провал делать никак нельзя. Нужно спокойно изучать все имеющиеся особенности и только потом выносить вердикт. Пока же, все те аргументы, что обычно приводятся в пользу ошибочности наших ожиданий не учитывают ту специфику финслеровых пространств, о которой знают профессионалы (себя я к ним не отношу). Получается, профи готовы работать и искать, а дилетанты в этой области смело делают далекоидущие отрицательные заявления. На кого лучше ориентироваться?
Да, сейчас никто не ответит на все имеющиеся вопросы в отношении того, каким образом можно заменить описание нашего реального Мира с привычной геометрии Минковского на непривычную Бервальда-Моора. Для этого нужно еще много работать. Но если не ставить такой задачи, то она точно никогда и не будет решена. Я и мои коллеги предпочитаем исходить из другой возможности, а именно: зная о математических преимуществах финслерова пространства с метрикой Бервальда-Моора (они заключаются, прежде всего, в бесконечности и разнообразности его групп симметрий) по сравнению с пространствами Галилея и Минковского, искать через неочевидность и имеющиеся трудности конкретные варианты преодоления этого. А локальные задачи, типа дифракции, немного подождут..
Кроме того, я получил значения двух непрерывных углов, но с рвущейся первой производной, описывающих трехмерное пространство. Т.е. в пространстве обобщенных функций.
Я предложил Вам вариант, каким образом в трехмерном пространстве на его сфере (в финслеровом случае сферы называют индикатрисами) можно построить систему координат основанную на двух углах, что бы последние обладали как аддитивными свойствами, так и позволяли реализовывать экспоненциальную форму представления, являющуюся естественным обобщением экспоненциальных форм представления чисел на комплексной и двойной плоскостях. Я понимаю, что Вы бы хотели все это видеть в трехмерном евклидовом пространстве, но что поделаешь, в последнем случае это не возможно. Отчасти, это связано с известной теоремой Фробениуса, по сути гласящей, что у комплексных чисел нет прямого обобщения с сохранением всех свойств на трех и более компонентные гиперкомплексные числа. Либо нужно жертвовать коммутативностью умножения (что проявляется у самых известных гиперкомплексных чисел под названием кватернионы), либо "жертвовать" появлением делителей нуля (эти объекты есть уже у двойных чисел). Я предпочитаю второе, тем более, что делителям нуля на плоскости двойной переменной соответствуют изотропные направления светового конуса двумерного пространства-времени, так что, с физической точки зрения эти объекты вполне оправданны и даже необходимы, если мы собираемся исследовать поведение света. Возможно, Ваше решение и имеет какой то хитрый смысл, но на факт отсутствия у точек трехмерного евклидова пространства связи с коммутативно-ассоциативными гиперкомплексными числами это точно никак не повлияет, а значит, и Ваше желание видеть аддитивными углы и экспоненциальную форму представления у таких чисел (и соответствующих им точек пространства) - точно из разряда несбыточных. Так может если все же аддитивность и экспонента Вам важны - перестать упорствовать и перейти к реальным построениям, пусть и не в том трехмерном пространстве, что Вам изначально хотелось?..
, то есть с псевдоевклидовой плоскостью и, прежде всего, с так называемыми изотропными векторами. Без получения этого опыта вопросы, подобные задаваемым, будут возникать постоянно. Углы с изотропными векторами, равно как и модули таких векторов обычно считаются неопределенными.
