Зафиксируем на кривой точку

. Проведем через неё ориентированную хорду, второй её конец обозначим

. Через середину отрезка

перпендикулярно ему проведем хорду. Пусть левая половина получившейся хорды(относительно нашей ориентации) имеет длины

, правая

. Рассмотрим

. Очевидно

. Наша функция действует из

,

- обычная окружность.

топологически то же самое что и тор(это всё для наглядности решения). На торе можно выбрать непрерывный путь, соединяющий точки

и

. В силу непрерывности

вдоль этого пути существует точка, такая что

, что и доказывает утверждение.