Эквивалентные функции на бесконечности

[ИСН]

У Вас сначала в числителе стояли ещё две что-то означающие буковки (первая - l...)

[swact]

Ну я вроде разложил числитель в нуле до первой степени члена $\frac {1}{t}$. Ведь $\ln(1+\alpha)$ так раскладывается при $\alpha \to 0$.

[ИСН]

Ещё раз: куда-куда стремится t?

[swact]

в 0. Я совсем запутался, зачем тогда замена переменной

[ИСН]

Это Вас надо спросить. Мы все тоже в недоумении, зачем.

[swact]

и как тогда найти эквивалентную функцию

[ИСН]

как обычно - отбросить несущественное.

[swact]

ну логарифм отбрасывать вроде нельзя а ничего больше не вижу

[ИСН]

тогда можете не отбрасывать. в конце концов, всякая функция эквивалентна себе самой.

-- Чт, 2011-03-10, 17:43 --

или начнём с малого. вот функция: x+1. Чему она эквивалентна на бесконечности? Можно ли как-то упростить?

[swact]

х

[ИСН]

Так! А нет ли в Вашем примере чего-то похожего на этот фрагмент?

[swact]

Ну да, $\ln(1+x+x^2) \sim \ln(x^2)$
Но как упростить дальше?

[ИСН]

А дальше никак. Ну, двоечку вынести наружу можно, но это едва ли упрощение.

[swact]

Спасибо, теперь понял.

[Pixar]

Прошу прощения за некропост, но, кажется, тема как раз подходящая.

Допустим у нас есть $\bold{3}$ функции:

$$f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{x^n}} \;\;\;,(n \in \mathbb{N})$$

$$g(x) = \frac{1}{f(x)} $$

$$h(x) = 1 $$

Все эти функции стремятся к $\bold{1}$ при $x \rightarrow \infty$:
$f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$,
$g(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$,
$h(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$.

1. Можно ли утверждать, что $f(x) \sim g(x) \sim h(x)$ ?
У меня сомнения по этому поводу, так как в книжках, по которым я занимаюсь, понятие подобия употребляется только в отношении бесконечно малых функций. Мои же функции не являются бесконечно малыми при $x \rightarrow +\infty$.
2. И, что для меня, наверное, более важно, могут ли они подменять друг друга в несобственном интеграле?

$$\int\limits_2^{\infty} f(x) dx \sim \int\limits_2^{\infty} g(x) dx \sim \int\limits_2^{\infty} h(x) dx$$

То есть, если один из этих интегралов расходится, то и остальные расходятся. Если один из них сходится, то все они сходятся.