ТУ (Диск нагруженный в центре )

[Sintanial]

Помогите пожалуйста с лабораторной работой: Тема лабораторной: "Прогиб круглой шарнирно опертой пластины, нагруженной центральной силой.
Вот рисунок :

Необходимо исследовать прогиб данной пластины. Считаем как обычно что $x_1=x$ $x_2=y$ $x_3=z$
В описании написано что необходимо составить функционал : $J=U-A$
Ну для начала находим $U$. По закону Гука и учитывая что $u=-z\dfrac{\partial W}{\partial x}$ $v=-z\dfrac{\partial W}{\partial y}$ получаем $U=\int\limits_{\Omega} (\sigma_{11}\varepsilon_{11}+\sigma_{22}\varepsilon_{22}+2\sigma_{12}\varepsilon_{12}) d\Omega$
Заменяя коэффициенты Ляме на технические константы и интегрируя по оси z получаем
$U=D\int\limits_{S} \left\{\left(\dfrac{\partial^2 W}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 W}{\partial y^2}\right)^2-2(1-\nu)\left[\dfrac{\partial^2 W}{\partial x^2}\dfrac{\partial^2 W}{\partial y^2}-\left(\dfrac{\partial^2 W}{\partial x\partial y}\right)^2\right]\right\} dxdy$

Далее выражаем работу внешних сил. Работа выражается через нормальную нагрузку к лицевым сторонам пластины, через изгибающие моменты, перерезывающие силы и крутящие моменты по краю пластины т.е.
$A=\int\limits_{S} qW dxdy-\int\limits_{\gamma} M_n\dfrac{\partial W}{\partial n} d\gamma+\int\limits_{\gamma}\left(Q_n-\dfrac{\partial M_{nt}}{\partial \gamma}\right)W d\gamma$
Вот тут начинаются вопросы
Преподаватель задал вопрос почему выражается работа крутящего момента вот так
$\int\limits_{\gamma}\dfrac{\partial M_{nt}}{\partial \gamma}W d\gamma$.
Как я помню работа момента силы равен моменту силы на угол поворота.... но почему тут находят ч.п. от момента по длине дуги(край пластины) умножая на функцию прогиба ?????

Теперь идем далее. Условия стационарности функционала энергии приводит к тому что его первая вариация равна нулю т.е.$\delta J=\delta U-\delta A=0$. Подскажите как варьировать энергию нашу и работу ?

Щас вот разберемся с этими вопросами дальше еще больше будет

[Андрей123]

Sintanial в сообщении #421321 писал(а):

Преподаватель задал вопрос почему выражается работа крутящего момента вот так
$\int\limits_{\gamma}\dfrac{\partial M_{nt}}{\partial \gamma}W d\gamma$.

Должно быть вот так $\int\limits_{\gamma}\dfrac{\partial W}{\partial \gamma}M_{nt} d\gamma$.
Но если я правильно понял, у Вас прогиб на краю нулевой, поэтому работы не будет.

-- Чт мар 10, 2011 11:15:25 --

Насчет вариации. Представялете подынтегральную функцию как: $f(W,W_x,W_y,W_{xx},W_{yy},W_{xy})$. Задаете произвольную вариацию прогиба $\delta W$. Тогда вариация функционала будет $\int (f(W+\delta W,W_x+\delta W_x,W_y+\delta W_y,W_{xx}+\delta W_{xx},W_{yy}+\delta W_{yy},W_{xy}+\delta W_{xy})-f(W,W_x,W_y,W_{xx},W_{yy},W_{xy})) \approx\int \delta f=\int \dfrac{\partial f}{\partial W}\delta W+\dfrac{\partial f}{\partial W_x}\delta W_{x}+...+\dfrac{\partial f}{\partial W_{xy}}\delta W_{xy}$