Открытое множество (многочлены в пространстве C[a,b])

[Cat]

Не могу понять с чего начать проверку того,
будет ли множество всех многочленов в пространстве С_{[a,b]} открытым?

[bot]

Я бы начал с того, что спросил бы себя, а что такое в этом случае норма, окрестность, что означает сходимость по такой норме и порылся бы в памяти, а нет ли чего-нибудь такого, что бы говорило о том, какие объекты могут попасть в $\varepsilon$-окрестность многочлена?

[Cat]

Цитата:

какие объекты могут попасть в $\varepsilon$-окрестность многочлена

Вот, с этим и проблема.

[RIP]

Возьмите, например, нулевой многочлен. Что значит, что функция лежит в его $\varepsilon$-окрестности?

[Brukvalub]

Вспомните теорему Вейерштрасса: в любой епсилон-окрестности ( в равномерной метрике на отрезке) любой непрерывной на отрезке функции лежит некоторый многочлен.

[worm2]

Brukvalub писал(а):

Вспомните теорему Вейерштрасса: в любой епсилон-окрестности ( в равномерной метрике на отрезке) любой непрерывной на отрезке функции лежит некоторый многочлен.

Думается, задача спрашивает несколько о другом: для любого ли многочлена на отрезке существует епсилон-окрестность, которая состоит целиком из многочленов.

[bot]

А какая разница? Окрестность можно сдвинуть.
Если сказанное мной ещё можно было рассматривать как подсказку, то RIP+Brukvalub уже открытым текстом сказали всё, что нужно.

[Brukvalub]

Конечно, Вы правы, но я предполагал несколько иное развитие темы: из т. Вейерштрасса следует всюду плотность множества многочленов в метрическом пространстве непрерывных на отрезке функций и т.д....

[bot]

Не сразу дошло, что разница в способе доказательства импликации.
Темнить уже собственно нечего. Я имел в виду следующее:
Возьмём произвольную непрерывную функцию $f$, не являющуюся многочленом и для любого $\varepsilon > 0$ по теореме Вейерштрасса найдём полином $p$, удовлетворяющий неравенству $||f-p|| < \varepsilon$. Тогда неполином $f-p$ окажется в $\varepsilon$-окрестности полинома $0$.
Brukvalub предлагает развернуть это в обратную сторону и в предположении открытости указанного множества получить, что любая непрерывная функция является полиномом.

[Cat]

Спасибо за помощь, B_{\varepsilon}(x_{0})=\{x(t)\in C_{[a,b]}\left| max\left| x(t)-x_{0}(t)\right| <\varepsilon\} - \varepsilon-окрестность многочлена x_{0} , теперь надо доказать что она содержится в множестве многочленов, т.е, что она не содержит других элементов, кроме многочленов.

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:

Что-то я плохо соображаю, а как доказать, что любой элемент окрестности многочлена является многочленом?

[RIP]

На самом деле, она содержит немногочлены...

[Cat]

Надо доказать, что существует такая окрестность, содержащаяся в мн-ве многочленов. Может ли существовать такая окрестность?

Добавлено спустя 42 секунды:

Что-то я не понимаю, что не понимаю.

[RIP]

Как я уже писал, возьмем для простоты нулевой многочлен. Верно ли, что любая функция, принимающая на отрезке только маленькие значения, обязательно является многочленом?

Добавлено спустя 6 минут 1 секунду:

Кстати, bot уже показывал, что это не так.Есть, правда, способ и попроще.

[PAV]

Еще проще скажу. Вы, надеюсь, согласитесь, что существуют непрерывные неотрицательные функции, не являющиеся многочленами. Пусть $f(x)$ - такая функция. Обозначим через $M$ максимум этой функции на отрезке $[a,b]$ (он конечен, так как функция непрерывна). Теперь рассмотрим функцию $g(x)=\frac{\varepsilon}{M}f(x)$. От умножения на ненулевую константу функция многочленом не станет. По построению, $g(x)$ принимает только значения, не превосходящие $\varepsilon$. Т.е. мы получили функцию, не многочлен, лежащую в $\varepsilon$-окрестности нуля.

[Cat]

Спасибо большое, то есть мы показали, что существует многочлен, в любой окрестности которого лежит функция, не являющаяся многочленом, следовательно множество всех многочленов не является открытым.

Добавлено спустя 37 минут 58 секунд:

А для множества многочленов множеством предельных точек является все множество С_{[a,b]}, следовательно замыкание множества многочленов это так же С_{[a,b]}, а так как множество многочленов не совпадает со своим замыканием, то оно не является замкнутым. Правильно я рассуждаю?