Верно ли утверждение для последовательности Фибоначчи

[Naf2000]

$\{F_n\}$- последовательность Фибоначчи, $p$- простое число.
Пусть $n$ минимальный положительный индекс, что $F_n \equiv 0(p)$.
Утверждение.
$F_{n-1} \equiv F_{n+1} \equiv -1(p)$ тогда и только тогда, когда $n=p+1$.

[maxal]

Неверно уже для $p=41$, для которого $n=20$ и $F_{n-1}\equiv F_{n+1}\equiv -1\pmod{p}$.

[Sonic86]

Более тривиальный контрпример следует из $p|F_{np}$, так что надо наверное ослаблять до $F_{np-1} \equiv F_{np+1} \equiv -1 (p)$
А то уже $F_4 \equiv F_6 \equiv -1 \pmod 2$.

[Naf2000]

maxal в сообщении #421100 писал(а):

Неверно уже для $p=41$, для которого $n=20$ и $F_{n-1}\equiv F_{n+1}\equiv -1\pmod{p}$.

спасибо, просмотрел

-- Ср мар 09, 2011 15:02:34 --



-- Ср мар 09, 2011 15:21:22 --

интересно, а так:
$\{F_n\}$- последовательность Фибоначчи, $F_p$- простое, $p>4$ (из чего следует $p$- простое).
Пусть $n$ минимальный положительный индекс, что $F_n \equiv 0(p)$.
Утверждение.
$F_{n-1} \equiv F_{n+1} \equiv -1(p)$ тогда и только тогда, когда $n=p+1$

[maxal]

Naf2000 в сообщении #421102 писал(а):

$\{F_n\}$- последовательность Фибоначчи, $F_p$- простое, $p>4$ (из чего следует $p$- простое).
Пусть $n$ минимальный положительный индекс, что $F_n \equiv 0(p)$.
Утверждение.
$F_{n-1} \equiv F_{n+1} \equiv -1(p)$ тогда и только тогда, когда $n=p+1$

Контрпример: $p=569$.

[Naf2000]

maxal в сообщении #421105 писал(а):

Контрпример: $p=569$.

Это Вы так с помощью Maple быстро подобрали?

[ИСН]

Это он запугивает. Так-то, например, число 41 сгодится.

[Naf2000]

ИСН в сообщении #421108 писал(а):

Это он запугивает. Так-то, например, число 41 сгодится.

ну с последней поправкой уже нет: $F_{41}$- составное

[ИСН]

А, извините, не заметил, ещё и $F_p$ простое. Тогда да, тогда всё по делу.

[Naf2000]

а так "красиво" всё было ((
ну и извините за упёртость (раз так быстро контрпримеры приводите)

$\{F_n\}$- последовательность Фибоначчи, $p>2$- простое.
Пусть $n$ минимальный положительный индекс, что $F_n \equiv 0(p)$.
Утверждение.
Если $F_{n-1} \equiv F_{n+1} \equiv -1(p)$, тогда либо $n=p+1$, либо $n=\frac{p-1}{2}$

[maxal]

Naf2000 в сообщении #421114 писал(а):

$\{F_n\}$- последовательность Фибоначчи, $p>2$- простое.
Пусть $n$ минимальный положительный индекс, что $F_n \equiv 0(p)$.
Утверждение.
Если $F_{n-1} \equiv F_{n+1} \equiv -1(p)$, тогда либо $n=p+1$, либо $n=\frac{p-1}{2}$

Контрпример: $p=47$

-- Wed Mar 09, 2011 07:01:05 --

Naf2000 в сообщении #421107 писал(а):

Это Вы так с помощью Maple быстро подобрали?

PARI/GP

[Sonic86]

(Оффтоп)

Naf2000, может быть, впишите себе, в алгоритм, эмпирическую предпроверку утверждения
Я ничего против не имею. Так просто сказал....

[Naf2000]

Всем спасибо, лимит терпения я исчерпал ))

[Sonic86]

(Оффтоп)

я ничего против не имею, но просто метод тыка - это неправильный метод здесь точно