Можно ли накрыть квадрат 6 × 6 тремя квадратами 5 × 5?

[kocuHyc]

Если можно - приведите пример, если нельзя - докажите.

[Sonic86]

Что значит "накрыть"? Малый квадрат всегда внутри большого должен лежать или нет?
Если стороны малых и большого квадрата параллельны, то нельзя. Для доказательства следует рассмотреть угловые вершины большого квадрата.
Стороны квадратов всегда параллельны или нет?

[kocuHyc]

Sonic86 в сообщении #421056 писал(а):

Что значит "накрыть"? Малый квадрат всегда внутри большого должен лежать или нет?
Если стороны малых и большого квадрата параллельны, то нельзя. Для доказательства следует рассмотреть угловые вершины большого квадрата.
Стороны квадратов всегда параллельны или нет?

Накрыть это покрыть допуская наложения. Малый не обязан лежать полностью внутри большого. Стороны не параллельны, иначе каждая из вершин большого квадрата принадлежала бы другому малому и понадобилось бы 4 а не 3.

[Xenia1996]

kocuHyc в сообщении #421054 писал(а):

Если можно - приведите пример, если нельзя - докажите.

Очевидно, что можно, ибо квадрат $5\times 5$ содержит прямоугольник $1\times 6$ (надо доказывать?).

[ИСН]

[Sonic86]

Ага, то есть произвольным образом...

Тогда можно. Пусть $ABCD$ - квадрат $6 \times 6$. Выкладываем в его углу квадрат $AB_1C_1D_1$ $5 \times 5$ $B_1 \in AB, C_1 \in AC, D_1 \in AD$, так что остается только уголок. $E = AC_1 \cap D_1B_1$. Углы $\angle C_1EB_1$ и $\angle C_1ED_1$ - углы остальных квадратов, они определяют их полностью. Ну видно, что они покрывают весь квадрат...

Интересно, можно ли число $6$ увеличить...

О! Почти как у ИСН...

[Xenia1996]

Xenia1996 в сообщении #421063 писал(а):

kocuHyc в сообщении #421054 писал(а):

Если можно - приведите пример, если нельзя - докажите.

Очевидно, что можно, ибо квадрат $5\times 5$ содержит прямоугольник $1\times 6$ (надо доказывать?).

Возмём внутри (не строго внутри, на стороне!) малого квадрата четыре точки, две из которых удалены на $\frac{1}{\sqrt 2}$ от одной из вершин, а другие две - от противоположной. Эти четыре точки образуют прямоугольник $1\times (5-\frac{1}{\sqrt 2})\cdot \sqrt 2=1\times (5\sqrt 2-1)$
А поскольку $5\sqrt 2>7$, мы получили прямоугольник $1\times 6$ внутри.

Теперь накрываем первым малым квадратом, скажем, левую нижнюю вершину, так, чтобы углы при этой вершине совпали, вторым - правую нижнюю, третьим - оставшийся прямоугольник $1\times 6$

[ИСН]

(да, под 45° тоже влезало, но не было так очевидно, что ещё есть запас.)

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #421066 писал(а):

Интересно, можно ли число $6$ увеличить...

Увеличить - влёгкую, а вот уменьшить нельзя!

[age]

[Sonic86]

Решение Xenia1996

(Оффтоп)

старался как мог...

Ну давайте обобщим что-ли... Дан большой квадрат $n \times n$ и несколько маленьких $a \times a$. Каким минимальным числом маленьких квадратов можно покрыть большой квадрат и как?

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #421092 писал(а):

Решение Xenia1996

(Оффтоп)

старался как мог...

Огромное спасибо!
Как видно из иллюстрации, в моём решении стороны двух из трёх малых квадратов параллельны сторонам большого. В остальных решениях - только одного.

А вот я и источник задачи нашла (номер 1)!

-- Ср мар 09, 2011 13:32:53 --

Sonic86 в сообщении #421092 писал(а):

Ну давайте обобщим что-ли... Дан большой квадрат $n \times n$ и несколько маленьких $a \times a$. Каким минимальным числом маленьких квадратов можно покрыть большой квадрат и как?

А я иначе обобщила.

[Derinaiborory]

Хм, а без перехлестов? Вроде не умещается, нет?

[Руст]

Большой квадрат можно считать имеющим сторону 1. Накрыть квадратами стороной $axa$.
Обобщение состоит в том, чтобы для числа $m>1$ найти минимальное значение $a(m)$ при котором единичный квадрат можно накрыть $m$ квадратами со стороной $a$.
Ответ для малых $m$: $a(2)=1,a(3)=\sqrt{\frac{\sqrt 5 -1}{2}}, a(4)=0.5,...$
При вычислении $a(3)$ естественно накрыть одним квадратом максимум площади $axa$, тогда оставшимися двумя квадратами надо накрыть две трапеции шириной $1-a$ с верхней стороной $a$ с нижней стороной 1. Один из углов на основании трапеции 90 градусов, другой 45 градусов. Число $a(3)$ получилось очень близкой к $\frac{11}{14}$ только к сожалению чуть больше него.
На счет $a(2)=1$. Насколько я знаю имеется обобщение этого, а именно $n$ мерное тело нельзя накрыть меньше чем $n+1$ подобными ему но меньшего размера. Это некоторое свойство подобное топологической размерности. Поэтому сразу можно интересоваться только $m>n$. В нашем случае $n=2$.

[Sonic86]

Чего-то мне кажется, что $a(5)=a(4) = \frac{1}{2}$
Может быть последовательность устроена в большом числе случаев довольно просто?...
И, наверное, $a(6)=\frac{1}{2}$...

-- Ср мар 09, 2011 22:30:45 --

Видимо и $a(7)= \frac{1}{2}, a(8) = \frac{1}{1+\sqrt{2}}, a(9)=\frac{1}{3}$