Теорема Гаусса для полей Янга - Миллса

[Утундрий]

myhand в сообщении #419418 писал(а):

Еще как следует

И продемонстрировать можете?

-- Чт мар 03, 2011 23:51:19 --

myhand в сообщении #419418 писал(а):

Не. Это соотношение сохраняется и для Я-М (Вы сами же ниже это пишете).

Да, я так и написал. Поэтому не понятно к чему тут Ваше "Не".

myhand в сообщении #419418 писал(а):

Штука в том, что из него не следует интегрального соотношения типа приведенного мной выше.

А я, что, не так сказал?!

[myhand]

Утундрий в сообщении #419421 писал(а):

И продемонстрировать можете?

Да я фактически уже "продемонстрировал", см. пост. В неабелевом случае появится дополнительный член, который представлен второй формулой. Просто переопределите "ток" - получите соотношение формально в прежнем виде. Кстати, такой ток будет сохраняться (аналогично абелеву случаю $\partial^i j_i = 0$).

Это напоминает законы сохранения в ОТО. Там появляется псевдотензор Э-И гравитационного поля. Вот эта "добавка" к току - очень на него походит. А ежели сформулировать ОТО как калибровочную теорию - сильно подозреваю, что именно этим она и будет.

Утундрий в сообщении #419421 писал(а):

Да, я так и написал. Поэтому не понятно к чему тут Ваше "Не".

Напомню:

Утундрий в сообщении #419384 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #419378 писал(а):

Из $dF=J$ в электродинамике следует сохранение тока, а для нулевой его компоненты получается теорема Гаусса, легко.

Ну вот мы и узнали, что понималось под "теоремой Гаусса".
Всего-навсего $\[J_{;\mu }^\mu = 0\]$

Теорема Гаусса и сохранение тока - все-таки разные вещи. Непонятно, зачем Вы сваливаете это в одну кучу (ну, так мне показалось) вслед за ИгорЪ.

[Утундрий]

myhand в сообщении #419451 писал(а):

Да я фактически уже "продемонстрировал", см. пост.

Вы в своём посте проинтегрировали выражение выписанное мною постом выше, получили не сводящуюся к поверхностному интегралу "штуку" и спросили "А она точно не нуль?" На что я Вам ответил "Дык, с чего бы это?". После чего Вы заявили, что

myhand в сообщении #419451 писал(а):

Это напоминает законы сохранения в ОТО. Там появляется псевдотензор Э-И гравитационного поля. Вот эта "добавка" к току - очень на него походит. А ежели сформулировать ОТО как калибровочную теорию - сильно подозреваю, что именно этим она и будет.

Вы можете показать, что это действительно так, приведя в явном виде сей гипотетический псевдо-ток (аналог псевдо-ТЕЭ)?

Судя по

myhand в сообщении #419451 писал(а):

Просто переопределите "ток" - получите соотношение формально в прежнем виде. Кстати, такой ток будет сохраняться (аналогично абелеву случаю

вроде как можете. Вот и продемонстрируйте, сделайте одолжение.

[myhand]

Утундрий в сообщении #419468 писал(а):

приведя в явном виде сей гипотетический псевдо-ток

С точностью до знака при $g$ (лень проверять): $\tilde j_i = j_i - g [F^{ik},A_k]$. Короче, часть удлиненной производной - переносим в правую часть уравнений поля. Слева - остается $\partial_k F^{ik}$. Соответственно, получаем:

$$\frac{1}{2} \oint F^{ik}df^*_{ik} = -4\pi \int \tilde j^i dS_i$$

[ИгорЪ]

myhand в сообщении #419472 писал(а):

Утундрий в сообщении #419468 писал(а):

приведя в явном виде сей гипотетический псевдо-ток

С точностью до знака при $g$ (лень проверять): $\tilde j_i = j_i - g [F^{ik},A_k]$. Короче, часть удлиненной производной - переносим в правую часть уравнений поля. Слева - остается $\partial_k F^{ik}$. Соответственно, получаем:

$$\frac{1}{2} \oint F^{ik}df^*_{ik} = -4\pi \int \tilde j^i dS_i$$

Т.е. в правой части, за счет нелинейного поля добавляется "ток самодействия". С интегралами что то не так. Справа 2-форма слева 1-форма, так?

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #419814 писал(а):

С интегралами что то не так. Справа 2-форма слева 1-форма, так?

Все обозначения я пояснял выше. $df$ - это элемент двумерной поверхности в пространстве Минковского, $dS$ - элемент трехмерной поверхности в пространстве Минковского ("трехмерного объема"). Т.е. 2-форма и 3-форма, соответственно.

Jnrty в сообщении #419611 писал(а):

Если ничего существенного не появится, тема будет перенесена в Пургаторий.

Думаю, не стоит это делать ради одного человека. За нарушения - можно наказать иначе, а тема поднятая ИгорЪ представляет известный интерес (хотя тут тоже, наверное все более-менее выяснили).

[ИгорЪ]

myhandнаверно ещё звездочки где то, перед жи, нет?

[myhand]

Ответил тут post419919.html#p419919

[Jnrty]

Jnrty:

Отделил от темы "Гравитационное поле внутри массивной сферы?".

[type2b]

Теорема Гаусса для YM в интегральной форме встречается обычно в таком виде:

$$\int_{\partial B} {\rm tr}(\phi F_{0n}) = \int_B {\rm tr}(\phi j_0),$$

где $\phi(x)$ --- ковариантно постоянное скалярное поле в присоединенном представлении, $D_\mu \phi=0$. Упражнение: проверить, что интегральная формула следует из уравнений YM.

Нельзя интегрировать тензор с висящим индексом, или сечение расслоения. В таких случаях чтобы получить хорошее подынтегральное выражение, надо с чем-нибудь свернуть. Другой пример этого обстоятельства -- что в ОТО нельзя $T_{0i}$ проинтегрировать по поверхности $\vec x=const$, это нековариантно. Чтобы такой интеграл построить, надо прежде свернуть с вектором Киллинга, который съедает висящий индекс.

[ИгорЪ]

type2b
Гдей-то она обычно встречается, сошлитесь плиз. Может вы и поле точечного цветного заряда часто видите?

[myhand]

type2b в сообщении #420540 писал(а):

Теорема Гаусса для YM в интегральной форме встречается обычно в таком виде:

$$\int_{\partial B} {\rm tr}(\phi F_{0n}) = \int_B {\rm tr}(\phi j_0),$$

где $\phi(x)$ --- ковариантно постоянное скалярное поле в присоединенном представлении, $D_\mu \phi=0$.

Хорошо бы ссылку, где именно это называется обобщением. А так, формула похожа на правду: ${\rm tr}\left(\phi F^{ik}\right)$ будет удовлетворять уравнениям Максвелла с током ${\rm tr}\left(\phi j^k\right)$.
Отсюда получаем post419352.html#p419352 с точностью до замены $F\to {\rm tr}\left(\phi F\right)$ и $j\to {\rm tr} \left(\phi j\right)$.

type2b в сообщении #420540 писал(а):

Нельзя интегрировать тензор с висящим индексом, или сечение расслоения.

Это Вы к чему?

[Munin]

myhand в сообщении #420807 писал(а):

Это Вы к чему?

Очевидно, к тому, что формула post419352.html#p419352 некорректна сама по себе, а подынтегральные выражения должны быть "скалялизованы" перед интегрированием, что и было сделано.

[myhand]

Munin в сообщении #420819 писал(а):

некорректна сама по себе

В абелевом случае (который и рассматривался там) - первая формула вполне корректна.

[Munin]

Ну, абелев Янг-Миллс - это вряд ли ответ про весь Янг-Миллс...