Почему у нормального распределения такая функция?

[Ales]

Joker_vD в сообщении #420442 писал(а):

Ales в сообщении #420436 писал(а):

Я утверждал, что такая величина, близкая к нормальной, не может наблюдаться в природе.

Зря. Потому как она наблюдается, и ничего тут не поделаешь. Это еще Пирсона удивляло.

Можно ли пример такого наблюдения?

[Someone]

Ales в сообщении #420436 писал(а):

Кто Вам в природе будет нормировать, умножая на $\sqrt n$?

А не надо ничего умножать. Множество мелких факторов, суммируясь, дают нормально распределённую случайную величину. Не $N(0,1)$, а $N(a,\sigma^2)$.

[Ales]

Someone в сообщении #420449 писал(а):

Ales в сообщении #420436 писал(а):

Кто Вам в природе будет нормировать, умножая на $\sqrt n$?

А не надо ничего умножать. Множество мелких факторов, суммируясь, дают нормально распределённую случайную величину. Не $N(0,1)$, а $N(a,\sigma^2)$.

Ок. Пусть у нас есть нормальная случайная величина $N(0,1)$.
Пусть она возникла, как сумма из $n$ слагаемых, независимых, одинаково устроенных.
Чему равно среднее квадратичное отклонение этих слагаемых?

[Someone]

При сложении независимых случайных величин их дисперсии складываются.

[profrotter]

Ales в сообщении #420389 писал(а):

Продолжу критику использования нормального распределения.
Рассмотрим, как оно появляется в молекулярно-кинетической теории Максвелла.

Пусть $f(v)$ -плотность распределения вероятности по скоростям частиц $v=(v_1,v_2,v_3)$.

Чтобы получить нормальный закон предполагают:
1. изотропность распределения - это значит что $f(v_1,v_2,v_3)$ не зависит от направления, все направления для движения равноправны, то есть $f(v_1,v_2,v_3)$ есть функция от $v^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2$,
2. плотность распределения представима в виде $f(v_1,v_2,v_3)=f_1(v_1)\cdot f_2(v_2)\cdot f_3(v_3)$.
...
Итак, из двух предположений вытекает нормальный закон, но если Предположение 1 естественное,
то Предположение 2 никак не обосновано, и кажется, взято с потолка.
Реально введение предположения 2 влечет нормальный закон и наоборот из нормального закона вытекает Предположение 2.
Получается, что нормальный закон введен в МКТ, как произвольный постулат.

Предположение 2 означает, что составляющие вектора скорости частиц рассматриваются как независимые случайные величины. Конечно является упрощением, которое облегачает теоретический анализ.

Зачем бороться с ветряными мельницами? Нет никакого распределения характерного для природы. Законов распределния случайных величин довольно много и в каждом конкретном случае используется то распределение, которое наиболее соответствует исследуемому процессу или явлению. В простейшем случае выбор закона распределения может осуществлятся по результатам построения гистограммы, соответствующей исследуемому процессу (явлению).

Просто гауссово распределение встречается чаще всего и обусловленно это, в первую очередь тем, что формирование случайных величин происходит под воздействием большого количества факторов, каждый из которых вносит приблизительно одинаковый вклад.

Гауссов закон инвариантен относительно линейного преобразовния случайного процесса. А при линейном инерционном преобразовании происходит нормализация: независимо от того, какое распределение имел исходный процесс, результат является приблизительно гауссовым.

Наконец, только для гауссовых случайных величин некоррелированность означает независимость.

Такими удобствами в теоретическом анализе пренебрегать вообще было бы преступно, учитывая и то, что в большинстве случаев результаты, получаемые на основе вероятностных методов являются приближёнными. Исключения составляют, пожалуй, задачи статистического синтеза оптимальных устройств.

На доказательство ЦПТ посмотрите с другого ракурса: при сложении случайных величин, закон распределения суммы получается в результате свёртки законов распределения исходных величин. Можно показать, что многократное рекурсивное применение свёртки к любой абсолютно-интегрируемой функции (коими являются законы распределения) неограниченно приближается к функции Гаусса.

[Ales]

Предположим, что некто наблюдает случайную величину и собирает статистику.
Эта статистика укладывается в нормальное распределение с квадратичным отклонением равным $1$ измерения.
Наблюдатель предполагает, что наблюдаемая величина обладает таким распределением в силу предельной теоремы.
Значит эта величина складывается из $n=100$ независимых маленьких примерно одинаковых случайных величин.
Тогда каждая маленькая величина будет иметь отклонение примерно $0.1 = \frac 1 {\sqrt {100}}$ единицы измерения.
Если бы эти маленькие величины имели существенно меньшее или существенно большее отклонение, то наблюдатель не зафиксировал бы нормальное распределение для наблюдаемой величины.

Почему такое вообще случилось, почему наблюдатель зафиксировал нормальное распределение?
Ведь это почти что антропоморфный принцип.

[ИСН]

Ales, Вы апокалипсис какой-то несёте. Если бы эти маленькие величины имели существенно меньшее или существенно большее отклонение, то наблюдатель наблюл бы нормальное распределение с существенно меньшей или большей сигмой, всего и делов-то.

[ewert]

Ales в сообщении #420436 писал(а):

Кто Вам в природе будет нормировать, умножая на $\sqrt n$?

Экстраполируем Вашу логику.

Берём интеграл $\int\limits_0^{+\infty}x\,e^{-x^2}dx$. Делаем замену переменной: $x^2=t$ и получаем, что интеграл равен половинке.

Но не может, ну не может же он равняться половинке! Кто ж в природе замену-то делать будет?...

[Ales]

Как то это меня не очень убеждает.
Хорошо бы какой нибудь пример из жизни:
чтобы была статистика с нормальным распределением и ее объяснение на основании предельной теоремы, чтобы были найдены реальные маленькие части, которые складываются и создают картинку с нормальным распределением.
Но доска Гальтона и бросание монет в качестве примера не подходят: надо чтобы было получено анализом - из общего - частички, а не синтезом - общее из повторений одного простого опыта - бросания монеты.

-- Вт мар 08, 2011 00:36:09 --

ИСН в сообщении #420495 писал(а):

Ales, Вы апокалипсис какой-то несёте. Если бы эти маленькие величины имели существенно меньшее или существенно большее отклонение, то наблюдатель наблюл бы нормальное распределение с существенно меньшей или большей сигмой, всего и делов-то.

Если сигма слишком мала, то наблюдатель не заметит отклонений.
А если отклонения составляющих величин велики, то это уже не малые величины, а вполне-приличные возмущения, они будут зависимы и сходимости к нормальной величине уже не будет.

Еще такой вопрос: любую плотность-колокол можно привести заменой координат к нормальной плотности.
Также и любое нормальное распределение может спрятаться в другой системе координат.
Например, если толщина деревьев в лесу распределена нормально, то площадь пня уже не может быть распределена нормально.
Почему человек фиксирует свои наблюдения именно в подходящей системе координат?

-- Вт мар 08, 2011 00:53:20 --

profrotter в сообщении #420477 писал(а):

Просто гауссово распределение встречается чаще всего и обусловленно это, в первую очередь тем, что формирование случайных величин происходит под воздействием большого количества факторов, каждый из которых вносит приблизительно одинаковый вклад.

Я как раз в этом и сомневаюсь и пытаюсь привести соображения против естественности гауссова распределения.
Мне кажется, что эти соображения вполне разумны, хотя они и идут в разрез с общепринятой точкой зрения.

[Shtirlic]

Ales в сообщении #420396 писал(а):

Shtirlic в сообщении #420384 писал(а):

Сечете, что с ростом выборки разброс начинает падать до нуля, а плотность сжиматься? Но разброс остается.

Противоречие.

Shtirlic в сообщении #420384 писал(а):

Вот что мне толку, что все будет устаканиваться возле одной точки.

А что за толк Вам нужен?

Где противоречие? Объясните мне пожалуйста.
Обычный толк нужен, для какой жизненной ситуации используют ЗБЧ?

Вот вам и пример.

Есть деревня, семей на 500.
И есть в ней магазин продающий хлеб (один на всю деревню).
Первый вопрос - у вас количество продаваемого хлеба в день будет сильно скакать или все будет сосредоточенно возле какого-то числа?
Пусть в среднем каждой семье 1 булки хватает на 2 дня (я говорю в среднем, но могут быть семьи которые едят 2 булки в день, а могут быть которые едят 1 булку в 3 дня). Тогда в среднем вы будете продавать 250 булок в день. Теперь расставьте в порядке падения вероятность продать 300, 350, 400, 500 булок хлеба в день (в нормальных условиях, без привлечения дополнительных рычагов продаж). Противоречит это плотности нормального распределения?
И если вы построите гистограмму дневных продаж, как вы думаете, что вы увидите. Я не говорю, что вы увидите в точности плотность нормального распределения, но похожи они будут?

[Ales]

Shtirlic в сообщении #420541 писал(а):

Я не говорю, что вы увидите в точности плотность нормального распределения, но похожи они будут?

Похожи, но насколько: просто колокол или именно нормальное с погрешностью?
Как в этом случае можно применить ЦПТ, и где случайные слагаемые?
Покупка хлеба одной семьей не совсем случайная величина.

Shtirlic в сообщении #420541 писал(а):

Обычный толк нужен, для какой жизненной ситуации используют ЗБЧ?

ЗБЧ утверждает, что частота появления события совпадает с его вероятностью.
По сути это тавтология, но на этом основана наука. Значит ЗБЧ применяется везде.
Понятие выборки основано на ЗБЧ.

А вот примеров применения ЦПТ - раз, два и обчелся.

-- Вт мар 08, 2011 10:55:02 --

Shtirlic в сообщении #420541 писал(а):

Где противоречие? Объясните мне пожалуйста.

Разброс падает до нуля и в тоже время остается. Это противоречие.

[Shtirlic]

Ales в сообщении #420582 писал(а):

Shtirlic в сообщении #420541 писал(а):

Где противоречие? Объясните мне пожалуйста.

Разброс падает до нуля и в тоже время остается. Это противоречие.

Тут имеется ввиду стремиться к нулю.

[ИСН]

Ales в сообщении #420501 писал(а):

Например, если толщина деревьев в лесу распределена нормально, то площадь пня уже не может быть распределена нормально.

Good point! Но если среднее намного больше сигмы, то нормальное может быть неплохим приближением и для того, и для другого. Насколько неплохим? Вот настолько, насколько сигма меньше среднего.
Кстати, а ведь строго нормальное распределение для обеих невозможно: у них не бывает отрицательных значений.

[Shtirlic]

Ales в сообщении #420582 писал(а):

Shtirlic в сообщении #420541 писал(а):

Я не говорю, что вы увидите в точности плотность нормального распределения, но похожи они будут?

Похожи, но насколько: просто колокол или именно нормальное с погрешностью?
Как в этом случае можно применить ЦПТ, и где случайные слагаемые?
Покупка хлеба одной семьей не совсем случайная величина.

Будет нормальное с погрешностью.
ЦПТ как раз и говорит, что сумма достаточно большого количества СВ (при условии, то никакое не доминирует) распределено близко к нормальному.
В моем примере случайная величина - это количество купленного хлеба семьей в конкретный день.

-- Вт мар 08, 2011 19:24:34 --

Ales в сообщении #420582 писал(а):

ЗБЧ утверждает, что частота появления события совпадает с его вероятностью.
По сути это тавтология, но на этом основана наука. Значит ЗБЧ применяется везде.
Понятие выборки основано на ЗБЧ.

А вот примеров применения ЦПТ - раз, два и обчелся.

Да, одно из применений ЗБЧ - это "оправдание" классической формулы вероятности. Но изначально, ЗБЧ это оценка вероятности, что СВ (полученная путем суммирования многих) отклониться от своего среднего не более чем на $\delta$. И не редко используется как раз для оценки (может на практике уже и нет, т.к. дает очень грубую оценку).
А на ЦПТ построена вся эконометрика (точнее на предположении нормальности массовых процессов). И о чудо, при правильном анализе, нормальное распределение и выскакивает.

-- Вт мар 08, 2011 19:36:35 --

Ales
Но на самом деле, что хочу сказать. На теории все это всегда красиво. Но теория она и на то теория, что строиться на каких-то постулатах. А на практике далеко не всегда выполняются эти постулаты.
Например в моем примере, если вы оцениваете конкретный отдельный день, то глупо ждать продажи в этот день на уровне 250 булок, если в прошлый день у вас купили 400 булок (причины могут быть разные, вплоть до "так совпало").
Ни одну теорию нельзя использовать бездумно, нюансов всегда очень много. В моем примере последующий день зависит от предыдущего, следовательно у вас и распределение от дня ко дню будет меняться и это надо учитывать, и по этому поводу тоже развито немало теорий.
А если бы вы учет вели помесячно, то эта проблема имела бы очень маленькое влияние и все было бы довольно красиво, все по той же ЦПТ (месяц - это сумма 30 дней).

[Ales]

Shtirlic в сообщении #420593 писал(а):

Будет нормальное с погрешностью.
ЦПТ как раз и говорит, что сумма достаточно большого количества СВ (при условии, то никакое не доминирует) распределено близко к нормальному.
В моем примере случайная величина - это количество купленного хлеба семьей в конкретный день.

ЦПТ это утверждает. Но выполняется ли это в жизни?
Есть ли собранная статистика, подтверждающая, что продажи распределены нормально?
Есть ли опытные данные, подтверждающие теорию?

Shtirlic в сообщении #420593 писал(а):

А на ЦПТ построена вся эконометрика (точнее на предположении нормальности массовых процессов). И о чудо, при правильном анализе, нормальное распределение и выскакивает.

Что значит правильный анализ?
Получается, что просто статистика не показывает нормальное распределение, и опытное распределение приходится подгонять под нормальное.
Над распределением совершают несколько операций, пока не из него не получают нормальное.
Так можно и лошади нарвалий бивень пришить на голову - и будет Единорог.