Почему у нормального распределения такая функция?

[Ales]

Shtirlic в сообщении #420334 писал(а):

Я могу сказать с уверенностью, что среднее количество очков выпадающих на игральной кости, при количестве бросков стремящихся к бесконечности, стремиться к нормальному распределению и никакой логике это не противоречит, вполне ожидаемо, что где-то так оно и будет выглядеть (понятно, что в среднем будет где-то 3,5 и что близость к 5 более вероятней чем к 10 и т.п.).

Среднее количество очков - случайная величина. У нее есть распределение.
Это распределение стремится к дельта-функции. Это закон больших чисел.

Нормальное распределение получается из комбинаторного только при некотором преобразовании, не имеющем предела при росте числа бросков.
Значит, не очень хорошо утверждать, что тут возникает нормальное распределение.

-- Пн мар 07, 2011 17:56:28 --

Shtirlic в сообщении #420334 писал(а):

Что такое размер случайных величин для начала?

Я имел в виду под размером - среднее квадратичное отклонение случайной величины, предполагая что математическое ожидание равно нулю.

[Joker_vD]

Ales в сообщении #420339 писал(а):

Среднее количество очков - случайная величина. У нее есть распределение.Это распределение стремится к дельта-функции. Это закон больших чисел.

ЗБЧ говорит о другом: что среднее количество очков стремится к матожиданию.

[Ales]

Joker_vD в сообщении #420345 писал(а):

Ales в сообщении #420339 писал(а):

Среднее количество очков - случайная величина. У нее есть распределение.Это распределение стремится к дельта-функции. Это закон больших чисел.

ЗБЧ говорит о другом: что среднее количество очков стремится к матожиданию.

Почему же о другом? Это ведь одно и тоже.
ЗБЧ: с вероятностью почти что 1 среднее по испытаниям очень близко к математическому ожиданию.
То есть распределение среднего по испытаниям - почти дельта-функция, вся плотность вероятности сосредоточена в одной точке.

[Joker_vD]

Ну, если отвлечься, что вы в вольной форме сформулировали усиленный ЗБЧ, все равно неясно, почему распределение стремится к дельта-функции. Плотность, может быть?

[Ales]

Joker_vD в сообщении #420356 писал(а):

Ну, если отвлечься, что вы в вольной форме сформулировали усиленный ЗБЧ, все равно неясно, почему распределение стремится к дельта-функции. Плотность, может быть?

Точно, плотность распределения вероятности. Извините за путаницу.
Вероятность распределена дискретно - 100% в одной точке, а плотность - дельта-функция.

[Shtirlic]

Ales
Что вас в крайности кидает? Никто не говорит, что количество испытаний должно быть бесконечно, поэтому мы не говорим про сосредоточенность в одной точке. И никто не говорит, что распределение будет нормальное. Посмотрите внимательно, речь идет, что оно будет стремиться к нормальному. Но эта близость позволяет прогнозировать значения, определять доверительные интервалы (и это пренебрежение, что распределение почти нормальное, а не нормальное не играет большой роли, по сравнению с тем же среднеквадратичным (если все по уму делать конечно)).
Вот вам бытовой пример на эту тему. У вас есть 1 000 010 рублей. Вас спросили сколько у вас денег. Вы скажите один миллион и десять рублей или все же просто один миллион?

[Ales]

Shtirlic в сообщении #420376 писал(а):

Посмотрите внимательно, речь идет, что оно будет стремиться к нормальному.

Это не так. Не стремится оно к нормальному. Оно стремится на основании ЗБЧ к дискретному.

[ИСН]

Кто "оно"? Среднее - то да, стремится к точке. К нормальному стремится кто-то другой.

[Shtirlic]

Ales в сообщении #420378 писал(а):

Shtirlic в сообщении #420376 писал(а):

Посмотрите внимательно, речь идет, что оно будет стремиться к нормальному.

Это не так. Не стремится оно к нормальному. Оно стремится на основании ЗБЧ к дискретному.

Как вам еще объяснить? Одно другого не исключает. Распределение среднего с ростом количества испытаний стремиться к нормальному распределению с среднеквадратичным равным $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Сечете, что с ростом выборки разброс начинает падать до нуля, а плотность сжиматься? Но разброс остается.
Теперь, все это делается для чего-то, для практики.
Вы правы, я про идеологию, с формулировкой может где-то что-то и не то.
Правы, а толк от этого какой? Вот что мне толку, что все будет устаканиваться возле одной точки. Ради интереса, прочитайте еще раз теоремы из блока закон больших чисел, и прочитайте, для чего их вообще применяют, хотя бы типовые задачи на эту тему почитайте.

[Ales]

Продолжу критику использования нормального распределения.
Рассмотрим, как оно появляется в молекулярно-кинетической теории Максвелла.

Пусть $f(v)$ -плотность распределения вероятности по скоростям частиц $v=(v_1,v_2,v_3)$.

Чтобы получить нормальный закон предполагают:
1. изотропность распределения - это значит что $f(v_1,v_2,v_3)$ не зависит от направления, все направления для движения равноправны, то есть $f(v_1,v_2,v_3)$ есть функция от $v^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2$,
2. плотность распределения представима в виде $f(v_1,v_2,v_3)=f_1(v_1)\cdot f_2(v_2)\cdot f_3(v_3)$.

Дифференцируя формулу из Предположения 2 получаем:
$df= (\frac {f_1'(v_1)}{f_1(v_1)}dv_1+\frac {f_2'(v_2)}{f_2(v_2)}dv_2+\frac {f_3'(v_3)}{f_3(v_3)}dv_3)\cdot f$.
Но из изотропности - Предположения 1 следует, что $df=0$, если $v_1dv_1+v_2dv_2+v_3dv_3=0$ - плотность не меняется, если не меняется квадрат скорости.
Значит вектор $(\frac {f_1'(v_1)}{f_1(v_1)},\frac {f_2'(v_2)}{f_2(v_2)},\frac {f_3'(v_3)}{f_3(v_3)})$ сонаправлен с вектором $(v_1,v_2,v_3)$. Значит $\frac {f_1'(v_1)}{v_1f_1(v_1)}=\frac {f_2'(v_2)}{v_2f_2(v_2)}=\frac {f_3'(v_3)}{v_3f_3(v_3)}=a(v_1,v_2,v_3)$.
Но $a(v_1,v_2,v_3)$ не зависит ни от $v_1$, ни от $v_3$, ведь она представима в виде $\frac {f_2'(v_2)}{v_2f_2(v_2)}$. Также $a(v_1,v_2,v_3)$ не зависит от $v_2$. Значит это вообще константа.
Таким образом, получается $\frac {f_1'(v_1)}{v_1f_1(v_1)}=a, \frac {f_2'(v_2)}{v_2f_2(v_2)}=a, \frac {f_3'(v_3)}{v_3f_3(v_3)}=a$.
Решая дифференциальное уравнение, получаем: $f_k(v_k)=C_k \cdot e^{a\frac {v_k^2} 2}$
Значит $f(v)=C\cdot e^{a\frac {v^2} 2}$, где $a<0$, чтобы была сходимость.

Итак, из двух предположений вытекает нормальный закон, но если Предположение 1 естественное,
то Предположение 2 никак не обосновано, и кажется, взято с потолка.
Реально введение предположения 2 влечет нормальный закон и наоборот из нормального закона вытекает Предположение 2.
Получается, что нормальный закон введен в МКТ, как произвольный постулат.

[Joker_vD]

Ales в сообщении #420378 писал(а):

Оно стремится на основании ЗБЧ к дискретному.

Но почему? Дисперсия-то тоже растет! И очень быстро!

[Ales]

Shtirlic в сообщении #420384 писал(а):

Сечете, что с ростом выборки разброс начинает падать до нуля, а плотность сжиматься? Но разброс остается.

Противоречие.

-- Пн мар 07, 2011 20:51:56 --

Joker_vD в сообщении #420394 писал(а):

Ales в сообщении #420378 писал(а):

Оно стремится на основании ЗБЧ к дискретному.

Но почему? Дисперсия-то тоже растет! И очень быстро!

Мы же говорим о средней сумме, у нее дисперсия убывает со скоростью $\frac 1 n$.

-- Пн мар 07, 2011 20:56:13 --

Shtirlic в сообщении #420384 писал(а):

Вот что мне толку, что все будет устаканиваться возле одной точки.

А что за толк Вам нужен?

[Joker_vD]

Я хоть убей не пойму, что вы хотите тут провернуть. Говорят, что последовательность $\xi_k$ независимых величин удовлетворяет ЦПТ, если

$$S_n = \frac{\sum\limits_{k=1}^n \xi_k - \sum\limits_{k=1}^n \mathrm M\xi_k}{\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \mathrm D\xi_k}} \xrightarrow[n\to\infty]{d} N(0,1).$$

Вы же утверждаете, что $S_n$ сходится к одноточечному распределению, что ли?

[Ales]

Joker_vD в сообщении #420421 писал(а):

Я хоть убей не пойму, что вы хотите тут провернуть. Говорят, что последовательность $\xi_k$ независимых величин удовлетворяет ЦПТ, если

$$S_n = \frac{\sum\limits_{k=1}^n \xi_k - \sum\limits_{k=1}^n \mathrm M\xi_k}{\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \mathrm D\xi_k}} \xrightarrow[n\to\infty]{d} N(0,1).$$

Вы же утверждаете, что $S_n$ сходится к одноточечному распределению, что ли?

Нет, я такого не утверждал: к одноточечному сходится распределение средней величины, к нормальному сходится распределение средней, умноженной на $\sqrt n$.
Я утверждал, что такая величина, близкая к нормальной, не может наблюдаться в природе.
Ситуацию можно создать искусственно, а в жизни такого не бывает.
Кто Вам в природе будет нормировать, умножая на $\sqrt n$?

-- Пн мар 07, 2011 22:17:16 --

Вместо ЦПТ лучше учить принцип Больцмана.

[Joker_vD]

Ales в сообщении #420436 писал(а):

Я утверждал, что такая величина, близкая к нормальной, не может наблюдаться в природе.

Зря. Потому как она наблюдается, и ничего тут не поделаешь. Это еще Пирсона удивляло.