Решить дифференциальное уравнение

[RNT]

Подскажите, пожалуйста как решить такое дифференциальное уравнение.

$$\[\frac{1}{{3{y^4}}} = \frac{{{{\left( {y'} \right)}^2}}}{{32}} - {C_1}\]$$

Я бы смог его решить, если бы производная не была бы в квадрате. Это уравнение не исходное, оно получилось в процессе решения дифференциального уравнения второго порядка. Так, что безошибочность вышеприведенного уравнения не гарантирую.

[myra_panama]

Можно использовать
$y'=p$
подставляя в уравнению и дифференцируя получаем решение....

[AKM]

myra_panama,

Вы хорошо обдумали свой совет?

[Алексей К.]

Надо, наверное, всё же выразить $y'$ и разделить переменные.

[myra_panama]

AKM в сообщении #420209 писал(а):

myra_panama,

Вы хорошо обдумали свой совет?

ну вроде так...
$3y^4=\frac{32}{p^2-32C_1}$
$y=\sqrt[4]{\frac{32}{3(p^2-32C_1)}}$ (*)
Имеем
$dy=pdx$
дифференцируя (*) можно ....

(Оффтоп)

как то трудновато будеть... ммм що делать

[Tlalok]

RNT
приведите, пожалуйста, исходное уравнение.

Зачем сложные преобразования

Алексей К. в сообщении #420210 писал(а):

Надо, наверное, всё же выразить и разделить переменные.

Правда меня это привело к эллиптическому интегралу.

[myra_panama]

RNT в сообщении #420203 писал(а):

Так, что безошибочность вышеприведенного уравнения не гарантирую.

откуда задача??

[RNT]

Задача из расчетно-графических работ по матанализу. Исходное уравнение:

$$\[y''{y^3} + 16 = 0\]$$

Ход решения http://i54.tinypic.com/11ikgie.jpg

[Tlalok]

Чему равен интеграл $\int {\frac{{dy}}{{{y^3}}}}$
Только внимательно.

[ewert]

И, кроме того, не пытайтесь выписывать общее решение -- выбивайте произвольные постоянные немедленно, по мере их поступления. Жизнь заметно полегчает.

[myra_panama]

в изображении ошибка .. там не правильно подсчитали интеграл
$\int\frac1{y^3}dy$

[RNT]

Tlalok в сообщении #420288 писал(а):

Чему равен интеграл $\int {\frac{{dy}}{{{y^3}}}}$
Только внимательно.

Ой... Вместо интеграла я нашел что-то более похожее на дифференциал.
В исправленном виде. $\[\int {\frac{{dy}}{{{y^3}}}} = - \frac{1}{{2{y^2}}}\]$
Ход решения задачи в подправленном виде картинка удалена.

-- Пн мар 07, 2011 16:35:13 --

ewert в сообщении #420290 писал(а):

И, кроме того, не пытайтесь выписывать общее решение -- выбивайте произвольные постоянные немедленно, по мере их поступления. Жизнь заметно полегчает.

Для этого надо вместо $x$ и $y$ подставить значения, заданные в условии задачи. Но в общем решении нет переменной $x$ !

[myra_panama]

Из условии $y(1)=2 , $ $y'(1)=2$
найдем $c_1=0$
$y'=\sqrt{\frac{16}{y^2}}=\frac4{y}$
дальше очень легко решается

[RNT]

myra_panama в сообщении #420301 писал(а):

Из условии $y(1)=2 , $ $y'(1)=2$
найдем $c_1=0$
$y'=\sqrt{\frac{16}{y^2}}=\frac4{y}$
дальше очень легко решается

Решить смог. Правильно ли ? Взял последнее выражение отсюда (картинка удалена). и преобразовал следующим образом:

$$\[\begin{gathered} \frac{1}{{2{y^2}}} = \frac{{{{\left( {y'} \right)}^2}}}{{32}} - {C_1} \hfill \\ {C_1} = 0 \hfill \\ \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{{{{\left( {y'} \right)}^2}}}{{16}} \hfill \\ {\left( {y'y} \right)^2} = 16 \hfill \\ y'y = 4 \hfill \\ \int {ydy} = \int {4dx} + C \hfill \\ {y^2} = 8x + C \hfill \\ C = - 4 \hfill \\ {y^2} = 8x - 4 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

[AKM]

RNT,

замена формул сканами на форуме не допускается.