Группа обратимых элементов кольца Z/nZ

[Yakov]

Как используя то, что элемент $p+1$ имеет порядок $p^{k-1}$ в группе $U(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})$, где $U(R)$ - группа обратимых элементов кольца $R$, доказать, что $U(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})$ - циклическая? Как я понимаю, надо найти элемент порядка $p-1$, и тогда, пользуюясь тем, что группа циклическая тогда и тольцо тогда, когда её экспонента совпадает с порядком, получится, что есть элементы порядков $p^{k-1}$ и $p-1$. С другой стороны, порядок любого элемента является делителем $\varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1)$.
Другие способы доказательства цикличность знаю, мне нужно именно такое доказательство.

Как найти элемент порядка $p-1$ в группе $U(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})$?

[Sonic86]

Берете образующую $g \not \equiv 1 \pmod p$ группы $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ и возводите его по модулю $p^k$ в степень $p^{k-1}$, ессно.

На самом деле $U(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})$ изоморфно $\mathbb{Z}/\varphi (p^k) \mathbb{Z}$. Знание этого помогает искать доказательство.

[Yakov]

1) Если взять образующую группы $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, то после возведения в степень $p-1$, мы получим число, сравнимое с $1$ по модулю $p$, но не $p^k$. Это раз.

2) Мне как раз и нужно доказать, что группа $U(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})$ циклическая, а так как в ней число элементов равно $\varphi(p^k)$, это, как лекго видеть, равносильно изоморфности группе $\mathbb{Z}/\varphi(p^k) \mathbb{Z}$. (Тривиальный изоморфизм $f: \; U(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z}) \rightarrow \mathbb{Z}/\varphi(p^k) \mathbb{Z}, \; g \rightarrow 1$, где $g$ - первообразный корень по модулю $p^k$.)

3) Надо найти элемент, порядок которого делится на $p-1$ - этого будет достаточно.

[Sonic86]

Yakov писал(а):

1) Если взять образующую группы $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, то после возведения в степень $p-1$, мы получим число, сравнимое с $1$ по модулю $p$, но не $p^k$. Это раз.

Да, и одновременно если образующую возвести в степень $p^{k-1}$, то получим элемент порядка $p-1$.

Я же говорю

Цитата:

На самом деле $U(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})$ изоморфно $\mathbb{Z}/\varphi (p^k) \mathbb{Z}$. Знание этого помогает искать доказательство.

и Вы тоже:

Цитата:

Мне как раз и нужно доказать, что группа $U(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})$ циклическая, а так как в ней число элементов равно $\varphi(p^k)$, это, как лекго видеть, равносильно изоморфности группе $\mathbb{Z}/\varphi(p^k) \mathbb{Z}$.

Вам это только доказать надо, но Вы уже это знаете. Значит, в отдельном отделе мозга, невидимом для преподавателя, думаете: "Ага! Мощность группы равна $\varphi (p^k) = p^{k-1}(p-1)$, группа циклическая, поэтому элемент порядка $p-1$ имеет вид $g^{p^{k-1}}$".

Ой! А тот факт, что $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ циклическая, Вам уже дан или нет?

Вообще, можете посмотреть Бухштаба Теорию чисел или Айрленда Роузена Классическое введение в современную теория чисел....

[Yakov]

То, что $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ - циклическая, уже известно. Я пытаюсь доказать, что $\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z}$ - циклическая, причём именно тем способом, о котором я написал (это задача из Винберга). "Классическое введение в современную теорию чисел" я читал, там сначала доказывается, что $1+ap,\; (a,p)=1$ имеет порядок $p^{k-1}$, и дальше всё понятно (берём первообразный корень по модулю $p$). Но как доказать только из того, что $p + 1$ имеет порядок $p^{k-1}$?

[Sonic86]

Цитата:

Но как доказать только из того, что $p + 1$ имеет порядок $p^{k-1}$?

Ну, формулировка, конечно, немного условная, но я не знаю. В Бухштабе довольно сложное доказательство...

[Yakov]

Цитирую.
Э.Б. Винберг. "Курс алгебры", стр. 386.
<<
Задача 11. Доказать, что для любого простого $p \neq 2$ группа $\mathbb{Z}_{p^k}^*$ обратимых элементов кольца $\mathbb{Z}_{p^k}$ является циклической. (Указание: доказать, что элемент$[p+1]_{p^k}$ этой группы имеет порядок $p^{k-1}$.
>>

Примечание. $[\xi]_{\wp}$ обозначает класс вычетов $\xi$ по модулю $\wp$.

[Yakov]

Я всё понял - банально, порядок примитивного корня по модулю $p$ делится на $p-1$ (в кольце классов вычетов по модулю $p^k$).

[Sonic86]

Поздравляю!