Аналитическая геометрия

[infinitegirl]

Народ,помогите пожалуйста срочно решить задачу...очень трудно, вааще не врубаюсь.

условие таково:
На плоскости 2х-у+4z-9=0 найти точку,разность расстояний от которой до точек А(26, 30, -2) и В (-4, 0, 4) максимальна.



буду очень благодарна....
срочно..завтра сдавать

[RIP]

По-моему, такой точки нет. Попробуйте найти ошибку у меня.
Точки $A$ и $B$ равноудалены от плоскости на расстояние $3$. Поэтому можно ввести такую систему координат, что плоскость перейдет в $Oxy$, а точки будут иметь координаты $A(-a;0;3)$ и $B(0;0;-3)$ с $a>0$(т.к. $AB>6$). Пусть искомая точка $X(x,y,0)$. Тогда

$$AX=\sqrt{(x+a)^2+y^2+9};$$

$$BX=\sqrt{x^2+y^2+9}.$$

Легко проверить, что $AX<BX+a$ и при $y=0\qquad\lim\limits_{x\to+\infty}(AX-BX)=a.$

[Руст]

Почему же нет? Сама точка или точка на прямой AB. Пересечение этой прямой даст единственное решение.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Почему же нет? Сама точка или точка на прямой AB. Пересечение этой прямой даст единственное решение.

Если прямая не перпендикулярна плоскости (а здесь это так), то проекция одной из точек на плоскость даст заведомо бОльшую разность расстояний.

[Capella]

У меня есть одна идея, но не знаю, насколько это можно применить здесь...

В своё время, когда я проходила по курсу функций нескольких переменных раздел о неявных (имплицитных) функциях и локальные экстремумы, мне встречались задачи, где надо было находить расстояние от точки $\left(x,y,z\right)$ до какой-нибудь фигуры (параболоида и гиперболоида).
В частности, если фигуру задать через систему координат (например гиперболоид вращения):

$$H:= \{ \left( x,y,z \right) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 - z^2 = 1 \} $$

, то искался инфинимум следующей метрической функции

$$ inf\limits_{\left(x,y,z\right) \in H} d\left(\left(x,y,z\right), \left(3,2,1\right)\right)$$

, где (3,2,1) заданная точка. (Сейчас я уже не помню путь решения во всех деталях, но искался градиент, потом матрица Хесса и её собственные значения подставлялись в систему уравнений, заданых функциями фигуры и расстояния, но Вам лучше будет посмотреть ещё ра по книге).
Так вот, задавая Вашу плоскость, как функцию

$$K$$

от 2 переменных (разрешаем на z) вероятно было-бы правильно искать инфинимум у следующей метрики:

$$ inf\limits_{\left(x,y,z\right) \in K} \left({d_1}\left(\left(x,y,z\right), \left(26,30,-2\right)\right) - {d_2} \left(\left(x,y,z\right),\left(-4,0,4\right)\right)\right)$$

По сути у вас опять получается какая-та функция нескольких переменных, которую надо минимировать.

Вот.

[ИСН]

Можно я по-простому?
(Автору темы это уже до лампочки - "завтра сдавать" - не дожила до зимы, может быть - но выяснить для себя не помешает).
Так вот.

П.П.Шариков писал(а):

Гессиан, метрика, немцы какие-то - голова пухнет. Взять всё, да и поделить.

Изоповерхности, на которых упомянутая разность постоянна - это кто?
Это двуполостные гиперболоиды вращения. Конкретно, при нулевой разнице это частный случай - плоскость, серединный перпендикуляр к отрезку AB - а дальше получатся две такие чаши, которые расходятся и становятся всё более "острыми", пока не превратятся в два луча, лежащие по обе стороны от отрезка AB на одноимённой прямой, так что выстрел вдоль неё и дал бы нам максимум - прав Руст - если бы только точки лежали по одну сторону от плоскости. А они по разные. Облом.
Но ладно, а если так? Вот эта чаша пересекает плоскость (по гиперболе, ну да неважно)... пересекает... пересекает... а вот опаньки! - и уже не пересекает. Должен быть момент перехода? Наверное, в этот момент чаша касается плоскости одной точкой? Ну-ка!
Ищем, ищем эту точку, и...
... ничего не находим, прав RIP. Удалена на бесконечность. Почему такая подлость? - а потому, что точки A и B находятся на равном расстоянии от плоскости. Были бы на разном, всё бы получилось.

[Capella]

ИСН

Длину отрезков я не проверяла, доверившись сообщению Brukvalubа Просто я думала, что соединив точки прямой и имея разные проекции, получим и разные расстояния.

[infinitegirl]

дааааа,ну вы тут и развели демагогию.....а задача решается и очень,оказывается, просто....жалко здесь нельзя файл прикрепить,а то бы показала....

[RIP]

infinitegirl писал(а):

дааааа,ну вы тут и развели демагогию.....а задача решается и очень,оказывается, просто....жалко здесь нельзя файл прикрепить,а то бы показала....

Вы изменили условие, поэтому и задача стала разрешимой. Для того уравнения плоскости, которое было написано ($2x-y+2z-9=0$, если не ошибаюсь), нужной точки не существовало.

[незваный гость]

infinitegirl писал(а):

дааааа,ну вы тут и развели демагогию.....а задача решается и очень,оказывается, просто....жалко здесь нельзя файл прикрепить,а то бы показала....

ну-ну. Это вместо спасибо?!? Не мне, но за державу обидно.

[Brukvalub]

infinitegirl писал(а):

дааааа,ну вы тут и развели демагогию.....а задача решается и очень,оказывается, просто....жалко здесь нельзя файл прикрепить,а то бы показала....

Заранее прошу прощения за флейм, но на ум приходит только окончание одного анекдота про гусар:" ...и тут выхожу я, вся в белом".

[SergeiMS]

Кстати, это не анекдот про гусар, а цитата из Москва-Петушки.