Сходящиеся последовательности

[RIP]

1) Пусть $a_n$-такая последовательность, что для любого $\alpha>1$ последовательность $a_{\lfloor\alpha^n\rfloor}$ сходится. Докажите, что $a_n$ сходится.

2) Докажите, что последовательность $a_n=\sin(1+\sin(2+\sin(3+\ldots+\sin n))\ldots)$ сходится.

[Юстас]

В первой задаче сначала покажем, что $\forall a,b>1 \ \exists\ c>1$ такое что каждая из последовательностей $\lfloor a^n \rfloor, \ \lfloor b^n \rfloor$ пересекается с последовательностью $\lfloor c^n \rfloor$ по бесконечному числу членов. Из этого следует, что все упомянутые в условии подпоследовательности имеют один и тот же предел. Останется показать, что любая подпоследовательность ${a_{n_k}}$ пересекается с какой-то из последовательностей вида $a_{\lfloor\alpha^n\rfloor}$ по бесконечному числу членов.
По первой части: пусть $a,\ b$ фиксированы. Рассмотрим последовательности чисел $p_n, \ q_n,\ \lim \frac{p_n}{q_n}=\varepsilon$. Тогда если $c=a^{\varepsilon}$, то последовательности $\lfloor a^n \rfloor, \ \lfloor c^n \rfloor$ имеют бесконечное число общих членов, аналогично $p'_n, \ q'_n,\ \lim \frac{p_n}{q_n}=\varepsilon \frac{ln\ a}{ln\ b}$, тогда последовательности $\lfloor b^n \rfloor, \ \lfloor c^n \rfloor$ имеют бесконечное число общих членов. Для строгости рассуждения нужно отдельно рассмотреть случаи, когда $1)\exists \ lim\{a^n\}=0\ or\ 1 \, 2) \exists \ lim\{b^n\}=0\ or\ 1$ и заменить сходимость $\frac{p_n}{q_n}$ монотонной сходимостью сверху или снизу. Дальше думаем

[RIP]

Значит всё-таки вторая часть неочевидна?
На самом деле, мне казалось, что это как раз тривиальная часть.

Добавлено спустя 1 час 36 минут 26 секунд:

И ещё одна последовательность

Обозначим $f_n(x)=x+\frac{x^2}n$ и $a_n(x)=f_n(f_n(\ldots f_n(x)\ldots))$($n$ пар скобок.)
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x).$

[Юстас]

Что-то вот не могу понять: может ли так быть, что для некоторого $a>1$ и последовательностей $p_n,\ q_n$ последовательность $a^{\frac{q_n}{p_n}}$ монотонно возрастает начиная с некоторого $n$, а последовательность $(a^{q_n}+\varepsilon)^{\frac{1}{p_n}}\approx a^{\frac{q_n}{p_n}}(1+\frac{\varepsilon}{p_n a^{q_n}})$ монотонно убывает?

[Юстас]

RIP писал(а):

Обозначим $f_n(x)=x+\frac{x^2}n$ и $a_n(x)=f_n(f_n(\ldots f_n(x)\ldots))$($n$ пар скобок.)
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x).$

Ответ $\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x)=xe^x$?
Насчёт первой задачи так ничего и не вышло, по крайней мере по тому пути который я намечал в начале.

[RIP]

Юстас писал(а):

RIP писал(а):

Обозначим $f_n(x)=x+\frac{x^2}n$ и $a_n(x)=f_n(f_n(\ldots f_n(x)\ldots))$($n$ пар скобок.)
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x).$

Ответ $\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x)=xe^x$?
Насчёт первой задачи так ничего и не вышло, по крайней мере по тому пути который я намечал в начале.

Ответ $\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x)=xe^x$ неверен.

Юстас писал(а):

В первой задаче сначала покажем, что $\forall a,b>1 \ \exists\ c>1$ такое что каждая из последовательностей $\lfloor a^n \rfloor, \ \lfloor b^n \rfloor$ пересекается с последовательностью $\lfloor c^n \rfloor$ по бесконечному числу членов. Из этого следует, что все упомянутые в условии подпоследовательности имеют один и тот же предел. Останется показать, что любая подпоследовательность ${a_{n_k}}$ пересекается с какой-то из последовательностей вида $a_{\lfloor\alpha^n\rfloor}$ по бесконечному числу членов.

Это верное соображение, по крайней мере, я так решал. И, как я уже писал, это несложно реализовать.

Добавлено спустя 6 минут 36 секунд:

А что насчет второй задачи? Она не такая уж и сложная. Хотя я её долго решал

[Юстас]

RIP писал(а):

А что насчет второй задачи? Она не такая уж и сложная. Хотя я её долго решал

Её решение есть на mathlinks.ro, в недавних постах олимпиадной секции по алгебре.

[RIP]

А я задачу оттуда и взял(как и остальные.)

[Руст]

RIP писал(а):

Обозначим $f_n(x)=x+\frac{x^2}n$ и $a_n(x)=f_n(f_n(\ldots f_n(x)\ldots))$($n$ пар скобок.)
Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x).$

Можно ввести функцию g(t), g(0)=x и $g(\frac{k}{n})=f_n(f_n(...f_n(x)...)) \ (k $ пар скобок). Тогда $g(1)=a_n(x)$. Аппроксимируя дифференцированием по t для ln(g(t)) получаем $\frac{g'(t)}{g(t)}=g(t)$, что приводит к $a_n(x)=\frac{x}{1-x}$ если не ошибся. Только смущает, что сходимость только для |x|<1.

[RIP]

Ответ $\lim_{n\to\infty}a_n(x)=\frac x{1-x}$ верен для $x\in(-\infty;1)$, откуда получаем, что для $x\geqslant1$ предел $+\infty$.

[RIP]

Пусть $a\in\mathbb{Z}$. Для каких $x$ сходится последовательность $\sin(a^nx)$?

[ИСН]

Вроде для таких рациональных, которые от умножения на некоторую степень a становятся целыми.

[RIP]

Во-первых, $\pi$ посеяли. Во-вторых, это не все.

[worm2]

Да, вроде бы $\frac{\pi k}{a-1}$ подходят для чётных $a>2$.

[ИСН]

Чёрт. Ну да, конечно. Пи подразумевалось, это ладно. А вот те, у которых там в пределе (может быть, не с самого начала) идёт одна цифра (не ноль), это да, упустил.