Вопросы из статистики

[jrMTH]

Помогите понять интуицию из Central Limit Theorem (Центральная предельная теорема
):
Почему сред. арифметическое (mean) of the sample distribution of the mean is always equal to the population mean мю?

И почему стандартное отклонение of the sampling distribution of the mean, referred to as the standard error of the mean is given by
$SE = \frac {\sigma} {\sqrt n}$


т.е. почему это вычисляется именно так?

[--mS--]

jrMTH в сообщении #419883 писал(а):

Помогите понять интуицию из Central Limit Theorem (Центральная предельная теорема
):
Почему сред. арифметическое (mean) of the sample distribution of the mean is always equal to the population mean мю?

Наверное, потому, что mean - это не среднее арифметическое, а просто среднее, оно же математическое ожидание. Воспользуйтесь свойствами математического ожидания и дисперсии:

$$\mathsf E\left(\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}\right) = \frac{1}{n} \mathsf E\left(X_1+\ldots+X_n\right) = \frac{1}{n} \left(\mathsf E X_1+\ldots+\mathsf E X_n\right) = \frac{1}{n}\, \cdot\, n\mu=\mu.$$

Второе равенство имеет место в силу существования матожидания. Предпоследнее - из-за одинаковости всех матожиданий.

А теперь то же самое для дисперсии, используя её свойства. Не забудьте, что постоянная из-под знака дисперсии выносится с квадратом, а дисперсия суммы независимых (хотя бы попарно) случайных величин равна сумме их дисперсий.