Арбитражная модель. Задача.

[Malavon]

Здравствуйте.
Прокомментируйте, пожалуйста, решение задачи.

Задача, взятая из книги Буренина «Задачи с решениями по рынку ценных бумаг», приведена в сокращенном виде.

На рынке торгуются акции А, В и С. Ожидаемые доходности акций А и В соответствуют равновесным и составляют 14% и 17%. Действительная ожидаемая доходность акции С – 16%. Инвестор может занимать акции для короткой продажи на сумму 100тыс.руб. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль. Акции можно занимать без процентов.

Решение.
1. Находим уравнение арбитражной модели
2. Вычисляем по этой модели равновесную ожидаемую доходность акции С, которая оказывается 16,5%
3. Делаем вывод о возможности арбитража, т.к. действительная ожидаемая доходность акции С не равна равновесной.
4. Строим из акций А и В портфель, предварительно определив их веса в портфеле.
5. Занимаем и осуществляем короткую продажу акций С на 100 тыс. руб. и покупаем акции А и В на суммы 16,7тыс.руб. и 83,3 тыс. руб.
6. Находим ожидаемый доход по портфелю: 16,7*(1+0,14) + 83,3*(1+0,17) = 116,5 тыс.руб.
7. Акции С будут выкуплены за: 100*(1+0,16) = 116 тыс. руб.
8 Арбитражная прибыль: 116,5тыс. – 116тыс. = 500 руб.

Возникают следующие вопросы:
1. Почему доход от портфеля в пункте 6 рассчитывается таким образом? Мы ведь может только рассчитать сумму дивидендов (16,5 тыс.руб.). А для определения дохода по портфелю нужно знать цены акций А и В (если я правильно понимаю, то они после получения дивидендов продаются.). Если они изменятся, то доход может быть другим.
2. Почему акции С будут выкуплена за 116тыс. руб? Если предположить, что цена на них не изменится, то выкупить их можно за 100тыс. А если цена изменится, то нужно знать цену. Зачем мы должны выплачивать 16% ожидаемой доходности? Человек, которому мы их продали, уже получил эти 16%-е дивиденды.

Спасибо за ответы!

[age]

Ниччего не понятно. Откуда вы взяли цифры 16,7 тыс.руб. и 83,3 тыс. руб.
2. Зачем вам продавать С, когда можно продать А, по которой арбитраж будет выше? Составьте уравнение и посчитайте.

[Malavon]

"Откуда вы взяли цифры 16,7 тыс.руб. и 83,3 тыс. руб"
В задаче еще приводятся коэф. бета каждой акции (А-1,1; В - 1,4; С - 1,35). На основе их рассчитываются веса акций А и В в портфеле, которые получаются: 0,167 для акций А и 0,833 для акции В. Решения я приводить не стал.

"Зачем вам продавать С, когда можно продать А, по которой арбитраж будет выше?"
Как я понял, ожидаемые доходности А и В соответствуют равновесным. Т.е. если продать акции А и вложить деньги в В, то просто получим более доходный, но и более рисковый портфель. В то время как риск портфеля, составленного из акции С, равен риску портфеля, составленного из акций А и В в данных пропорциях, а доходности портфелей разные.

[age]

я не пойму, как Вам можно отвечать, когда вы не привели как минимум, половины данных?

Malavon в сообщении #419647 писал(а):

В задаче еще приводятся коэф. бета каждой акции (А-1,1; В - 1,4; С - 1,35). На основе их рассчитываются веса акций А и В в портфеле, которые получаются: 0,167 для акций А и 0,833 для акции В. Решения я приводить не стал.

Из таких бета-коэффициентов всё равно не следуют такие доли в портфеле. Почему вы продаёте С и покупаете А и В? Неясно. Как можно ответить на Ваши вопросы, не имея половины данных.

[Malavon]

Извиняюсь, может быть, чего-то не понимаю.

Вопросы по задаче не связаны с тем, как именно получились доли активов А и В и почему продаем именно С. Эти доли и короткую продажу можно принять как данность.
Вопрос в том, что как можно посчитать сколько будет стоить портфель из акций А и В не зная цену самих акций? В задаче они не приводятся. Известно только сколько вложили в эти акции (16,7тыс и 83,3тыс) и их ожидаемая доходность.

"Из таких бета-коэффициентов всё равно не следуют такие доли в портфеле"

1. Находим уравнение арбитражной модели
2. Вычисляем по этой модели равновесную ожидаемую доходность акции С, которая оказывается 16,5%
3. Делаем вывод о возможности арбитража, т.к. действительная ожидаемая доходность акции С не равна равновесной(ожидаемые доходности акций А и В соответствуют рановесным).
4. "Арбитражеру следует осуществить короткую продажу акции С, поскольку она переоценена и купить портфель из акций А и В"
5. Строим из акций А и В портфель, бета которого равна бете акции С.
6. Определяем веса акции А и В в портфеле. (доляА*бетаА + доляВ*бетаВ = бетаС) и (доляА + доляВ = 1). Все беты известны, решая систему, находим доли акций А и В.

[age]

Теперь ясно. Извиняюсь, недопонял. Что-то мне в голову не пришла система:
$\begin{cases} \beta_Ad_A+\beta_Bd_B=\beta_C \\d_A+d_B=1 \end{cases}$

Malavon в сообщении #419538 писал(а):

Возникают следующие вопросы:
1. Почему доход от портфеля в пункте 6 рассчитывается таким образом? Мы ведь может только рассчитать сумму дивидендов (16,5 тыс.руб.). А для определения дохода по портфелю нужно знать цены акций А и В (если я правильно понимаю, то они после получения дивидендов продаются.). Если они изменятся, то доход может быть другим.

Потому что мы (исходя из условий задачи) определили таким образом доли каждого актива в портфеле не зависимо от их цен. А только в зависимости от рисков (требование составить из акций А и В такой портфель, рисковость которого будет равна риску по С). Успешно справились. Но использовали пока мы только риски, доходности мы ещё не трогали.
Теперь зная по соображениям рисков доли, мы уже берём доходности этих активов и считаем:
$(1+0.14)\cdot0.1667+(1+0.17)\cdot0.8333=1.165$ что соответствует 16,5%-ой ставке при той же рисковости.
Т.е. формируя из акций А и В аналог акции С по риску - мы получаем более доходный актив (16,5%), чем даёт С - 16%. Отсюда и возникает арбитраж.

Malavon в сообщении #419538 писал(а):

2. Почему акции С будут выкуплена за 116тыс. руб? Если предположить, что цена на них не изменится, то выкупить их можно за 100тыс. А если цена изменится, то нужно знать цену. Зачем мы должны выплачивать 16% ожидаемой доходности? Человек, которому мы их продали, уже получил эти 16%-е дивиденды.

У нас есть два варианта действий:
1) оставить все деньги в С и получить с риском изменения 1,35 - 16%-ый доход.
2) а есть другой вариант: составить актив такого же риска из акций А и В. Для того чтобы так поступить нам необходимо открыть короткую позицию по С на 100 тыс, затем на полученные средства купить портфель А + В в соответствующих долях, которые мы посчитали и по истечение определённого срока (неважно какого, т.к. бета-коэффициент портфеля равен бете актива С, т.е. в любом случае они будут двигаться одинаково) - продать наш портфель (условно это 116,5 тыс, т.к. доходность его 16,5%) и соответственно закрыть короткую позицию по С. Но т.к. беты портфеля и актива С равны, то если мы получили по портфелю доходность 16,5%, то за это время по акции С была получена доходность 16% (из условия). Поэтому за время пока мы получили 116,5 тыс., акция С также принесла доход выросла и стала стоить 116 тыс. Поэтому мы её сможем выкупить только за 116 тыс. В итоге арбитраж составит 116,5 - 116 = 500 руб. - у нас останется.

Пояснение:
(на самом деле цифры 116,5 тыс. и 116 тыс. - весьма условные, при условии что рынок стоит на месте. На самом деле, если рынок изменится на $\pm1$%, то стоимости как портфеля, так и актива С изменятся на $\pm1.35$% - это следует из их коэффициентов бета. Но т.к. рынок с равной вероятностью может пойти как вниз, так и вверх, то среднеожидаемое его состояние в среднем считается, что рынок стоит на месте, что соответствует доходностям 116,5 тыс. и 116 тыс. При этом арбитраж будет при любых раскладах. 500 руб. - это лишь среденожидаемое значение арбитража при нулевом (среденожидаемом) рынке)

[Malavon]

"рынок стоит на месте"
Т.е. арбитражная модель предполагает, что "в среднем" цены акций (именно цены, а не доходности) не изменятся?

Не совсем ясно с ациями С.
Предположим, что акция С стоит 10руб. Я занял 10 акций С и тут же продал их за 100руб. Если цена акций не меняется, то выкупить акции С у нового владельца тоже можно будет за 100руб. Новый владелец акций за некоторый период времени уже получил свои 16% дивидедов. Почему за акции С я должен платить 116руб?

[age]

Malavon в сообщении #420155 писал(а):

Т.е. арбитражная модель предполагает, что "в среднем" цены акций (именно цены, а не доходности) не изменятся?

Только не арбитражная модель, а это САРМ. Да, именно так. Т.к. на момент принятия решения о возможности арбитража мы располагаем лишь бета-коэффициентами и доходностями по акциям, то мы не знаем сколько реально будут стоить акции завтра, послезавтра. Куда пойдёт рынок. Мы знаем лишь, что на каждый 1% роста рынка, наши акции вырастут на $\beta$%. Аналогично упадут в след за рынком. Но т.к. поведение рынка - величина случайная, то как рост, так и спад принимаются равновероятными. То среднеожидаемым значением является нуль. Или когда рынок стоит на месте.
Т.е. модель всё же предполагает, что цены изменятся. Но как наиболее ожидаемое из всех изменений берётся именно НУЛЬ (как среднее).

Malavon в сообщении #420155 писал(а):

Предположим, что акция С стоит 10руб. Я занял 10 акций С и тут же продал их за 100руб. Если цена акций не меняется, то выкупить акции С у нового владельца тоже можно будет за 100руб. Новый владелец акций за некоторый период времени уже получил свои 16% дивидедов. Почему за акции С я должен платить 116руб?

Если вы продадите их за 100 рублей, это будет означать, что исходя из бета-коэффициента 1,35, что акция выросла на 90 рублей (100-10). При этом рынок вырос на $\dfrac{90}{1.35}=66.67$ рублей (только в этом случае с такой бетой акция С может вырасти на 90 руб.). Но если рынок вырос на 66,67 руб., то и портфель А+В, имеющий ту же бету, что и С - вырастет на 90 рублей. Но кроме того, доходность по дивиденду от портфеля - 16,5% - выше, чем по акции С (16%). Кроме того, в модели предполагается, что дивиденды по акциям А, В и С выплачиваются в одно и то же время, т.е. исключается возможность дополнительного арбитража на дивидендах, о котором вы пишите.
Поэтому предполагается, если он получил свои 16%, то и вы получили свои 16,5% (кроме того, дивиденды платятся не один раз, а через какое-то время регулярно, поэтому здесь речь идёт не об одной выплате дивидендов, а скорее об увеличении стоимости акции вследствие таких дивидендов). Поэтому вне зависимости от того, получил он свои, или вы свои - заплатить за акции надо будет 116 тыс. (считайте это платой за то, что он держал у себя Ваши акции, в то время как Вы имели возможность получить 16,5% по портфелю А + В).